Fedun V.I. Bilješke s predavanja iz fizike Mehaničke vibracije i valovi

Oscilacije i elastični valovi.

Predavanje 9.

8 . Harmonijske oscilacije i njihove glavne karakteristike.

8. 1. Slobodne vibracije i njihove glavne karakteristike. Prikazi harmonijskih vibracija.

Oscilatorno kretanje je pokret koji ima određeni stupanj ponovljivosti tijekom vremena. Kretanje se zove periodički , ako se vrijednosti veličina mijenjaju tijekom kretanja. Ponavlja se u redovitim intervalima.

Sustav koji oscilira, bez obzira na njegovu prirodu, naziva se oscilator .

Slobodne vibracije. Za tijelo (točku) koje oscilira postoji položaj stabilne ravnoteže. Tijelo možete izvesti iz ovog stanja primjenom vanjske sile. Tijelo, izbačeno iz stanja ravnoteže i postavljeno samo sebi, oscilira oko položaja ravnoteže. Takve oscilacije nazivaju sevlastiti ilibesplatno . Frekvencija kojom sustav pravi takve oscilacije naziva se vlastiti.

Analitički prikaz harmonijskih oscilacija nije ništa manje poznat:

Gdje - fluktuirajuća veličina (pomak, brzina, ubrzanje, sila itd.), - vrijeme, - amplituda osciliranja (amplituda je jednaka najvećoj apsolutnoj vrijednosti odstupanja oscilirajuće veličine od ravnotežnog položaja), - ciklička ili kružna frekvencija.

Fizičko značenje cikličke frekvencije je da je brojčano jednaka broju oscilacija izvedenih po
sekundi, tj.

Gdje - frekvencija osciliranja, tj. broj oscilacija izvedenih u jedinici vremena, - period titranja - vrijeme tijekom kojeg se dogodi jedan potpuni titraj.

Veličina
naziva se faza oscilacije. Faza titranja je funkcija vremena koja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u ovom trenutku u vremenu . Pokazuje koji dio amplitude je pomak u datom trenutku:
. Veličina naziva početnom fazom osciliranja. Određuje vrijednost količine
.

u početnom trenutku vremena

8. 2. Opružno njihalo. Diferencijalna jednadžba slobodnih vibracija.

Opružno njihalo. Primjer harmonijskog oscilatora je njihalo s oprugom. Opružno njihalo - je teret mase T, pričvršćen na apsolutno elastičnu oprugu (vidi sl. 8.3) i izvodi harmonijske oscilacije pod djelovanjem elastične ili kvazielastične sile (sile drugačije prirode od elastičnih sila, ali također

Ova sila se naziva povratna sila. Prema drugom Newtonovom zakonu za povratnu silu imamo

dobivamo diferencijalna jednadžba vlastitih oscilacija

ili nakon prijelaza iz složeni oblik na trigonometrijski

8. 3. 1. Fizičko njihalo.

Razmotrimo rotaciju masivnog tijela (vidi sl. 8.4) oko fiksne osi s malim odstupanjima ovog tijela od ravnotežnog položaja. U ovom slučaju, takvo tijelo se zove fizičko klatno . Jednadžba gibanja ovog tijela je osnovna jednadžba dinamike rotacijskog gibanja

Gdje - moment tromosti tijela, izračunat u odnosu na os rotacije,
- glavni vektor momenata sila, - kut rotacije tijela,
- kutno ubrzanje tijela.

Podsjetimo da je pseudovektor koji je usmjeren duž osi rotacije i poštuje pravilo desnog vijka. Stoga je na Sl. 8.4 vektor usmjeren izvan ravnine crteža.

Samo momenat sile teže uzrokuje rotaciju tijela
, čija se točka primjene poklapa sa središtem inercije tijela. Dakle, glavni vektor momenata sila

Gdje
- udaljenost od osi rotacije do središta tromosti,
-tjelesna težina

Projiciranjem (9) na os rotacije dobivamo diferencijalnu jednadžbu oscilacija fizičkog njihala

8. 3. 2. Matematičko njihalo.

Ako su dimenzije tijela puno manje od udaljenosti od osi rotacije do središta tromosti, tada se može smatrati fizičko njihalo matematički . Ovdje ćemo provjeriti valjanost ove tvrdnje prelaskom na granicu za frekvenciju titranja, određenu prema (8.13).

Prema Steinerovom teoremu moment tromosti
, - moment tromosti oko osi koja prolazi kroz središte tromosti. Ako onda dovoljno velik
. Stoga,

8. 4. Brzina i ubrzanje tijela koje sudjeluje u harmoničnim titrajima. Kinetička, potencijalna i ukupna mehanička energija oscilatora.

Na primjeru opružnog njihala pronaći ćemo brzinu i akceleraciju tijela koje vrši oscilatorno gibanje. Po definiciji, brzina tijela
. Stoga za harmonijske vibracije prema (8.1)

Zatim, prema osnovnom zakonu dinamike, povratna sila

Potencijalna energija deformirane opruge

Dok proučavate ovaj odjeljak, imajte to na umu fluktuacije razne fizička priroda opisuju se s jedinstvenih matematičkih pozicija. Ovdje je potrebno jasno razumjeti takve pojmove kao što su harmonijska oscilacija, faza, fazna razlika, amplituda, frekvencija, period oscilacije.

Mora se imati na umu da u svakom stvarnom oscilatornom sustavu postoji otpor medija, tj. oscilacije će biti prigušene. Za karakterizaciju prigušenja oscilacija uvode se koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja.

Ako se oscilacije javljaju pod utjecajem vanjske sile koja se povremeno mijenja, tada se takve oscilacije nazivaju prisilnim. Oni će biti neprigušeni. Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile. Kako se frekvencija prisilnih oscilacija približava frekvenciji vlastitih oscilacija, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Taj se fenomen naziva rezonancijom.

Kada prijeđete na proučavanje elektromagnetskih valova, morate to jasno razumjetielektromagnetski valje elektromagnetsko polje koje se širi u prostoru. Najjednostavniji sustav emitiranja elektromagnetski valovi, je električni dipol. Ako dipol prolazi kroz harmonijske oscilacije, on emitira monokromatski val.

Tablica formula: oscilacije i valovi

Harmonijske vibracije– oscilacije koje se izvode prema zakonima sinusa i kosinusa. Sljedeća slika prikazuje grafikon promjena koordinata točke tijekom vremena prema kosinusnom zakonu.

slika

Amplituda oscilacija

Amplituda harmonijskog titranja naziva se najveća vrijednost pomicanje tijela iz ravnotežnog položaja. Amplituda može poprimiti različite vrijednosti. Ovisit će o tome koliko ćemo tijelo u početnom trenutku pomaknuti iz ravnotežnog položaja.

Amplituda je određena početnim uvjetima, odnosno energijom predanom tijelu u početnom trenutku vremena. Budući da sinus i kosinus mogu poprimiti vrijednosti u rasponu od -1 do 1, jednadžba mora sadržavati faktor Xm, izražavajući amplitudu oscilacija. Jednadžba gibanja za harmonijske vibracije:

x = Xm*cos(ω0*t).

Period oscilacije

Period titranja je vrijeme potrebno da se izvrši jedan potpuni titraj. Period titranja označen je slovom T. Mjerne jedinice perioda odgovaraju jedinicama vremena. To jest, u SI to su sekunde.

Frekvencija oscilacija je broj oscilacija izvedenih u jedinici vremena. Frekvencija titranja označena je slovom ν. Frekvencija titranja može se izraziti kroz period oscilacije.

ν = 1/T.

Frekvencijske jedinice su u SI 1/sek. Ova mjerna jedinica naziva se Hertz. Broj oscilacija u vremenu od 2*pi sekundi bit će jednak:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frekvencija osciliranja

Ta se veličina naziva ciklička frekvencija oscilacija. U literaturi se pojavljuje naziv kružna frekvencija. Vlastita frekvencija oscilatornog sustava je frekvencija slobodnih oscilacija.

Frekvencija vlastitih oscilacija izračunava se pomoću formule:

Frekvencija prirodnih vibracija ovisi o svojstvima materijala i masi tereta. Što je veća krutost opruge, veća je frekvencija vlastitih vibracija. Što je veća masa tereta, to je niža frekvencija vlastitih oscilacija.

Ova dva zaključka su očita. Što je opruga čvršća, to će veće ubrzanje prenijeti na tijelo kada se sustav izbaci iz ravnoteže. Što je masa tijela veća, to će se brzina tog tijela sporije mijenjati.

Period slobodnih oscilacija:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Važno je napomenuti da pri malim kutovima otklona period titranja tijela na opruzi i period titranja njihala neće ovisiti o amplitudi oscilacija.

Zapišimo formule za period i frekvenciju slobodnih oscilacija matematičkog njihala.

tada će period biti jednak

T = 2*pi*√(l/g).

Ova formula će vrijediti samo za male kutove otklona. Iz formule vidimo da period titranja raste s povećanjem duljine niti njihala. Što je duljina veća, to će tijelo sporije vibrirati.

Period titranja uopće ne ovisi o masi tereta. Ali to ovisi o ubrzanju slobodnog pada. Kako se g smanjuje, period oscilacije će se povećavati. Ova nekretnina naširoko koristi u praksi. Na primjer, za mjerenje točne vrijednosti slobodnog ubrzanja.

(lat. amplituda- magnituda) je najveće odstupanje tijela koje oscilira od ravnotežnog položaja.

Za njihalo, to je maksimalna udaljenost na koju se kuglica udalji od svog ravnotežnog položaja (slika ispod). Za oscilacije s malim amplitudama takva se udaljenost može uzeti kao duljina luka 01 ili 02, kao i duljine ovih segmenata.

Amplituda oscilacija mjeri se u jedinicama duljine - metrima, centimetrima itd. Na grafikonu oscilacija amplituda je definirana kao maksimalna (modulo) ordinata sinusne krivulje (vidi sliku dolje).

Period oscilacije.

Period oscilacije- to je najkraće vremensko razdoblje kroz koje se sustav oscilirajući ponovno vraća u isto stanje u kojem se nalazio u početnom trenutku vremena, proizvoljno odabranom.

Drugim riječima, period oscilacije ( T) je vrijeme tijekom kojeg se dogodi jedna potpuna oscilacija. Na primjer, na slici ispod, ovo je vrijeme potrebno da se malj njihala pomakne od krajnje desne točke kroz točku ravnoteže OKO do krajnje lijeve točke i natrag kroz točku OKO opet krajnje desno.

Tijekom punog perioda titranja tijelo tako prijeđe put jednak četirima amplitudama. Period titranja mjeri se u jedinicama vremena - sekundama, minutama itd. Period titranja može se odrediti iz dobro poznatog grafikona oscilacija (vidi sliku ispod).

Koncept "perioda titranja", strogo govoreći, vrijedi samo kada se vrijednosti oscilirajuće veličine točno ponavljaju nakon određenog vremenskog razdoblja, tj. za harmonijske oscilacije. Međutim, ovaj se koncept također primjenjuje na slučajeve približno ponavljajućih količina, na primjer, za prigušene oscilacije.

Frekvencija osciliranja.

Frekvencija osciliranja- ovo je broj oscilacija izvedenih po jedinici vremena, na primjer, u 1 s.

SI jedinica frekvencije je imenovana herc(Hz) u čast njemački fizičar G. Hertz (1857-1894). Ako je frekvencija osciliranja ( v) je jednako 1 Hz, to znači da svake sekunde postoji jedna oscilacija. Frekvencija i period oscilacija povezani su relacijama:

U teoriji oscilacija također koriste koncept ciklički, ili kružna frekvencija ω . Povezan je s normalnom frekvencijom v i period oscilacije T omjeri:

.

Ciklička frekvencija je broj oscilacija izvedenih po 2π sekundi

Harmonijske vibracije

Funkcijski grafikoni f(x) = sin( x) I g(x) = cos( x) na kartezijanskoj ravnini.

Harmonijsko titranje- oscilacije u kojima se fizikalna (ili bilo koja druga) veličina mijenja tijekom vremena prema sinusoidalnom ili kosinusnom zakonu. Kinematička jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik

Gdje X- pomak (odstupanje) oscilirajuće točke od ravnotežnog položaja u trenutku t; A- amplituda oscilacija, to je vrijednost koja određuje najveće odstupanje oscilirajuće točke od ravnotežnog položaja; ω - ciklička frekvencija, vrijednost koja pokazuje broj potpunih oscilacija koje se javljaju unutar 2π sekundi - puna faza oscilacija, - početna faza oscilacija.

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je harmonijska oscilacija s cikličkom frekvencijom)

Vrste vibracija

Vremenska evolucija pomaka, brzine i akceleracije u harmonijskom gibanju

• Slobodne vibracije provode se pod utjecajem unutarnjih sila sustava nakon što je sustav pomaknut iz ravnotežnog položaja. Da bi slobodne oscilacije bile harmonične, potrebno je da oscilatorni sustav bude linearan (opisano linearne jednadžbe kretanje) i nije bilo rasipanja energije (potonje bi uzrokovalo slabljenje).
• Prisilne vibracije izvode se pod utjecajem vanjske periodične sile. Da bi bili harmonični, dovoljno je da je oscilatorni sustav linearan (opisan linearnim jednadžbama gibanja), a vanjska sila sama se tijekom vremena mijenjala kao harmonijska oscilacija (to jest, tako da je vremenska ovisnost te sile bila sinusoidalna).

Primjena

Harmonijske vibracije izdvajaju se od svih ostalih vrsta vibracija iz sljedećih razloga:

Vidi također

Bilješke

Književnost

• Fizika. Osnovni udžbenik fizike / Ed. G. S. Lansberg. - 3. izd. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. Fizičke osnove mehanika. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Fizikalni temelji mehanike. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006. (enciklopedijska natuknica).
• Gorelik G. S. Oscilacije i valovi. Uvod u akustiku, radiofiziku i optiku. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 str.

Zaklada Wikimedia.

2010.

Pogledajte što su "harmonijske oscilacije" u drugim rječnicima:

Moderna enciklopedija Harmonijske vibracije - HARMONIČKE VIBRACIJE, periodične promjene fizikalne veličine koje se događaju prema sinusnom zakonu. Grafički se harmonijske oscilacije prikazuju krivuljom sinusoide. Harmonijske vibracije najjednostavniji oblik periodična kretanja, karakterizirana...

Ilustrirani enciklopedijski rječnik Oscilacije u kojima fizička količina mijenja se tijekom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Grafički, GK su predstavljeni zakrivljenim sinusnim valom ili kosinusnim valom (vidi sliku); mogu se napisati u obliku: x = Asin (ωt + φ) ili x...

Velika sovjetska enciklopedija HARMONIČKE VIBRACIJE, periodično gibanje kao što je gibanje NJIHALNA, atomske vibracije ili oscilacije u električnom krugu. Tijelo izvodi neprigušene harmonijske oscilacije kada oscilira duž pravca, krećući se isto... ...

Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik Oscilacije, s kojima tjelesne (ili bilo koja druga) količina se mijenja tijekom vremena prema sinusoidnom zakonu: x=Asin(wt+j), gdje je x vrijednost fluktuirajuće količine u određenom trenutku. trenutak vremena t (za mehanički G.K., na primjer, pomak ili brzina, za ... ...

Fizička enciklopedija harmonijske vibracije - Mehaničke oscilacije, kod kojih se generalizirana koordinata i (ili) generalizirana brzina mijenjaju proporcionalno sinusu s argumentom linearno ovisnim o vremenu. [Zbirka preporučenih pojmova. Izdanje 106. Mehaničke vibracije. Akademija znanosti…

Vodič za tehničke prevoditelje Oscilacije, s kojima tjelesne (ili bilo koja druga) količina se mijenja tijekom vremena prema sinusoidnom zakonu: x=Asin(wt+j), gdje je x vrijednost fluktuirajuće količine u određenom trenutku. trenutak vremena t (za mehanički G.K., na primjer, pomak ili brzina, za ... ...

Oscilacije, s kojima tjelesne (ili bilo koja druga) količina se mijenja tijekom vremena prema sinusoidnom zakonu, gdje je x vrijednost oscilirajuće količine u trenutku t (za mehaničke hidrauličke sustave, na primjer, pomak i brzina, za električni napon i jakost struje) ... HARMONIČKE VIBRACIJE - (vidi), u kojem tjeles. veličina se mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa (na primjer, promjene (vidi) i brzina tijekom oscilacije (vidi) ili promjene (vidi) i jakost struje tijekom električnog G. k.) ...

Velika politehnička enciklopedija Karakteriziran promjenom oscilirajuće vrijednosti x (na primjer, odstupanje njihala od ravnotežnog položaja, napon u krugu itd.) u vremenu t prema zakonu: x = Asin (?t + ?), gdje je A amplituda harmonijskih oscilacija, ? kut...... Veliki enciklopedijski rječnik

Moderna enciklopedija- 19. Harmonijske oscilacije Oscilacije kod kojih se vrijednosti oscilirajuće veličine mijenjaju tijekom vremena prema zakonu Izvor ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Periodički fluktuacije, u kojima se mijenjaju u vremenu fizikal. količine se javljaju prema zakonu sinusa ili kosinusa (vidi sliku): s = Asin(wt+f0), gdje je s odstupanje oscilirajuće veličine od njezinog prosjeka. (ravnotežna) vrijednost, A=konstantna amplituda, w=konstantna kružna... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik