Ravnomjerna funkcija.

Čak je funkcija čiji se predznak ne mijenja pri promjeni predznaka x.

x jednakost vrijedi f(–x) = f(x). Znak x ne utječe na znak g.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).

Primjeri parne funkcije:

g=cos x

g = x 2

g = –x 2

g = x 4

g = x 6

g = x 2 + x

Obrazloženje:
Uzmimo funkciju g = x 2 ili g = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Znak x ne utječe na znak g. Graf je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je parna funkcija.

Čudna funkcija.

čudno je funkcija čiji se predznak mijenja promjenom predznaka x.

Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost vrijedi f(–x) = –f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan oko ishodišta (slika 2).

Primjeri neparnih funkcija:

g= grijeh x

g = x 3

g = –x 3

Obrazloženje:

Uzmimo funkciju y = – x 3 .
Sva značenja na imat će znak minus. To je znak x utječe na znak g. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Graf funkcije je simetričan oko ishodišta. Ovo je čudna funkcija.

Svojstva parnih i neparnih funkcija:

BILJEŠKA:

Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne pokoravaju takvoj gradaciji. Na primjer, korijenska funkcija na = √X ne odnosi se ni na parne ni na neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni nepar.

Periodične funkcije.

Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Funkcije koje opisuju te procese nazivaju se periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.

Natrag Naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formirati pojam parnosti i neparnosti funkcije, naučiti sposobnost određivanja i korištenja tih svojstava kada istraživanje funkcije, crtanje;
• razvijati kreativnost aktivnost učenika, logično razmišljanje, sposobnost uspoređivanja, generaliziranja;
• njegovati marljivost i matematičku kulturu; razvijati komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijske instalacije, interaktivna ploča, brošure.

Oblici rada: frontalni i grupni s elementima tragajuće i istraživačke aktivnosti.

Izvori informacija:

1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Problemska knjiga.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

NAPREDAK SATA

1. Organizacijski trenutak

Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.

2. Provjera domaće zadaće

10.17 (zadatak za 9. razred. A.G. Mordkovich).

A) na = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 pri X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na ime = – 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) slajd.

2. Provjerimo tablicu koju ste pitali sa slajda.

Ispunite tablicu
	Domena definicije	Funkcijske nule	Intervali predznaka		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Obnavljanje znanja

– Funkcije su zadane.
– Navedite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koje od ovih funkcija u domeni definicije vrijede jednakosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (dobivene podatke unijeti u tablicu) slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafika	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		a nije definiran

4. Novi materijal

– Izvođenje ovo djelo, dečki, identificirali smo još jedno svojstvo funkcije, koje vam nije poznato, ali ne manje važno od ostalih - ovo je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . slajd

Def. 1 Funkcija na = f (X), definirana na skupu X naziva se čak, ako za bilo koju vrijednost XÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X naziva se neparan, ako za bilo koju vrijednost XÊ X vrijedi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo susreli pojmove "par" i "nepar"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju forme na= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Prikaz funkcija na= i na = 2X– 3 nisu ni parni ni neparni jer jednakosti nisu zadovoljene f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Proučavanje je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanje pariteta funkcije. slajd

U definicijama 1 i 2 govorilo se o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti X, i na – X.

Def 3. Ako numerički skup, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element –x, tada skup X nazivamo simetričnim skupom.

Primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.

– Imaju li parne funkcije domenu definiranja koja je simetrični skup? One čudne?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(X) – par ili nepar, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Je li obrnuta tvrdnja istinita: ako je domena definiranja funkcije simetričan skup, je li on paran ili neparan?
– To znači da je postojanje simetričnog skupa domene definiranja nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati paritet funkcije? Pokušajmo stvoriti algoritam.

slajd

Algoritam za proučavanje funkcije za parnost

1. Utvrditi da li je područje definiranja funkcije simetrično. Ako nije, tada funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–X).

3. Usporedi f(–X).I f(X):

• Ako f(–X).= f(X), tada je funkcija parna;
• Ako f(–X).= – f(X), tada je funkcija neparna;
• Ako f(–X) ≠ f(X) I f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

Primjeri:

Ispitajte parnost funkcije a). na= x 5 +; b) na= ; V) na= .

Otopina.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + neparan.

b) y =,

na = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrični skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Ispitajte funkciju za paritet:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Na sl. izgrađen je grafikon na = f(X), za sve X, zadovoljavajući uvjet X? 0.
Grafikirajte funkciju na = f(X), Ako na = f(X) je parna funkcija.

3. Na sl. izgrađen je grafikon na = f(X), za sve x koji zadovoljavaju uvjet x? 0.
Grafikirajte funkciju na = f(X), Ako na = f(X) je neparna funkcija.

Uključena međusobna provjera tobogan.

6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

***(Dodjela opcije jedinstvenog državnog ispita).

1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijelom brojevnom pravcu. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Odredite vrijednost funkcije h( X) = na X = 3.

7. Sažimanje

Koji su vam bili poznati u ovoj ili onoj mjeri. Također je navedeno da će se zaliha funkcionalnih svojstava postupno nadopunjavati. O dvije nove nekretnine i razgovarat ćemo u ovom paragrafu.

Definicija 1.

Funkcija y = f(x), x ê X, poziva se čak i ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = f (x).

Definicija 2.

Funkcija y = f(x), x ê X, naziva se neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = -f (x).

Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.

Otopina. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je parna.

Slično se može dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.

Dokažite da je y = x 3 ~ neparna funkcija.

Otopina. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično se može dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.

Već smo više puta vidjeli da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” porijeklo, tj. mogu se nekako objasniti. To je slučaj i s parnim i s neparnim funkcijama. Vidi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y = x" (u nastavku ćemo posebno proučavati te funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako n nije paran broj, tada je funkcija y = x" neparna; ako je n paran broj, tada je funkcija y = xn parna.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je npr. funkcija y = 2x + 3. Doista, f(1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, niti identitet f(-x) = f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavanje je li određena funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanje pariteta.

Definicije 1 i 2 odnose se na vrijednosti funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u točki x i u točki -x. To znači da točka -x pripada domeni definicije funkcije istovremeno s točkom x. Ako numerički skup X, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok \).

Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednadžbe (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Dakle, jednakost (*) može biti zadovoljena samo kada su obje strane jednadžbe jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A ovo znači to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odgovor:

\(a\u \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2. zadatak #3923

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od njih graf funkcije \

simetričan u odnosu na podrijetlo.

Ako je graf funkcije simetričan oko ishodišta, tada je takva funkcija neparna, odnosno \(f(-x)=-f(x)\) vrijedi za bilo koji \(x\) iz domene definicije funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\lijevo(3\mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \desna strelica \quad2\sin \dfrac12\lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \kraj(poravnano)\]

Posljednja jednadžba mora biti zadovoljena za sve \(x\) iz domene \(f(x)\), stoga, \(\sin(2\pi a)=0 \desna strelica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadatak 3 #3069

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednadžba \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijelom brojevnom pravcu , i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadatak od pretplatnika)

Kako je \(f(x)\) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na ordinatnu os, stoga, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Dakle, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a ovo je segment duljine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .

1) Neka \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako:


Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi točkom \(A\) :


Stoga, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( okupljeno)\desno.\] Budući da \(a>0\) , tada je \(a=\dfrac(18)(23)\) prikladno.

2) Neka \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Potrebno je da graf \(g(x)\) prolazi točkom \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\desno.\] Budući da \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Slučaj kada \(a=0\) nije prikladan, budući da je tada \(f(x)=0\) za sve \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i jednadžba će imati samo 1 korijen.

Odgovor:

\(a\u \lijevo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)

Zadatak 4 #3072

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \

ima barem jedan korijen.

(Zadatak od pretplatnika)

Prepišimo jednadžbu u obliku \ i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je parna i ima točku minimuma \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Doista, kada se \(x>0\) drugi modul otvori pozitivno (\(|x|=x\)), dakle, bez obzira na to kako će se otvoriti prvi modul, \(f(x)\) bit će jednako na \( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz za \(a\) , a \(k\) je jednako \(-9\) ili \(-3\) . Kada \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Nađimo vrijednost \(f\) u najvećoj točki: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu sjecišnu točku. Stoga vam je potrebno: \ \\]

Odgovor:

\(a\u \(-7\)\šalica\)

Zadatak 5 #3912

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \

ima šest različitih rješenja.

Izvršimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednadžba poprimiti oblik \ Postupno ćemo ispisati uvjete pod kojima će izvorna jednadžba imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednadžba \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Svaka kubna jednadžba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne može imati više od tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, jer \(t\) mora biti veće od nule) \(t_1\) i \(t_2\) , tada, praveći obrnuto zamjenom, dobivamo: \[\lijevo[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno.\] Budući da se bilo koji pozitivni broj može donekle predstaviti kao \(\sqrt2\), na primjer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednadžba skupa biti prepisana u obliku \ Kao što smo već rekli, svaka kubna jednadžba nema više od tri rješenja, stoga svaka jednadžba u skupu neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli set neće imati više od šest rješenja.
To znači da kako bi izvorna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednadžba \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubna jednadžba (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (a ne jedno rješenje jedna se jednadžba treba podudarati s bilo kojom -odlukom druge!)
Očito, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja izvorne jednadžbe.

Dakle, plan rješenja postaje jasan. Zapišimo uvjete koji moraju biti ispunjeni točku po točku.

1) Da bi jednadžba \((*)\) imala dva različita rješenja, njezina diskriminanta mora biti pozitivna: \

2) Također je potrebno da oba korijena budu pozitivna (jer \(t>0\) ). Ako je umnožak dva korijena pozitivan i njihov zbroj pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Dakle, već smo sebi osigurali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Pogledajmo ovu jednadžbu \ Za koliko će \(t\) imati tri različita rješenja?
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se faktorizirati: \ Stoga su njegove nule: \(x=-1;2\) .
Ako nađemo derivaciju \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije točke ekstremuma \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dakle, grafikon izgleda ovako:


Vidimo da svaka horizontalna linija \(y=k\) , gdje \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) imao tri različita rješenja, potrebno je da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Dakle, trebate: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Također odmah primijetimo da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, tada će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različite, što znači jednadžbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imat će različite korijene.
Sustav \((**)\) može se prepisati na sljedeći način: \[\početak(slučajevi) 1

Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednadžbe \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovaj uvjet?
Nećemo izričito zapisivati ​​korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola s granama prema gore, koja ima dvije sjecišne točke s x-osi (zapisali smo ovaj uvjet u paragrafu 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf da sjecišne točke s x-osi budu u intervalu \((1;4)\)? Tako:


Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u točkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabola \(t_0\ ) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Stoga možemo napisati sustav: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) uvijek ima barem jedan korijen \(x=0\) . To znači da je za ispunjenje uvjeta problema potrebno da jednadžba \

ima četiri različita korijena, različita od nule, koji predstavljaju, zajedno s \(x=0\), aritmetičku progresiju.

Imajte na umu da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) parna, što znači da ako je \(x_0\) korijen jednadžbe \( (*)\ ) , tada će \(-x_0\) također biti njegov korijen. Tada je potrebno da korijeni ove jednadžbe budu brojevi poredani rastućim redoslijedom: \(-2d, -d, d, 2d\) (tada \(d>0\)). Tada će tih pet brojeva činiti aritmetičku progresiju (s razlikom \(d\)).

Da bi ti korijeni bili brojevi \(-2d, -d, d, 2d\) , potrebno je da brojevi \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) budu korijeni jednadžba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Zatim, prema Vietinom teoremu:

Prepišimo jednadžbu u obliku \ i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcija \(g(x)\) ima točku maksimuma \(x=0\) (i \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulta derivacija: \(x=0\) . Kada \(x<0\) имеем: \(g">0\) , za \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) raste, a za \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Doista, kada se \(x>0\) prvi modul otvori pozitivno (\(|x|=x\)), prema tome, bez obzira na to kako će se otvoriti drugi modul, \(f(x)\) bit će jednako na \( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz \(a\) , a \(k\) je jednako \(13-10=3\) ili \(13+10 =23\) . Kada \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Nađimo vrijednost \(f\) u minimalnoj točki: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu sjecišnu točku. Stoga vam je potrebno: \ Rješavanjem ovog skupa sustava dobivamo odgovor: \\]

Odgovor:

\(a\u \(-2\)\šalica\)

Ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristiti oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, paritet, periodičnost i druga.

Pogledajte pobliže svojstvo pariteta.

Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

2. Vrijednost funkcije u točki x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u točki -x. To jest, za bilo koju točku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domene definicije funkcije: f(x) = f(-x).

Graf parne funkcije

Ako nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na os Oy.

Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Idemo to provjeriti. Domena definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljno x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prema tome f(x) = f(-x). Dakle, ispunjena su oba uvjeta, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon funkcije y=x^2.

Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na os Oy.

Graf neparne funkcije

Funkcija y=f(x) se naziva neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

1. Područje definiranja zadane funkcije mora biti simetrično u odnosu na točku O. To jest, ako neka točka a pripada području definiranja funkcije, tada i odgovarajuća točka -a mora pripadati području definiranja zadane funkcije.

2. Za svaku točku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domene definicije funkcije: f(x) = -f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na točku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Idemo to provjeriti. Domena definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljno x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prema tome f(x) = -f(x). Dakle, ispunjena su oba uvjeta, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon funkcije y=x^3.

Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.