Definicija:

Kompleksni broj = x – yi nazivamo konjugiranim brojem u odnosu na w = x + yi.

Primjeri konjugata kompleksni brojevi:

–1 + 5ja i –1 – 5 ja, 2 – 3ja i 2 + 3 ja.

Za dijeljenje dva kompleksna broja algebarski oblik U pravilu je zgodno pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s brojem konjugiranim nazivniku.

Primjer 4 Izvršite dijeljenje: = [pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s konjugiranim brojem nazivnika] =

Imajte na umu da
je izraz, a ne broj, pa se ne može smatrati odgovorom.

Primjer 5 Slijedite ove korake:
=

=


=
.

Primjer 6 Slijedite ove korake:
= [pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s brojevima koji su konjugirani s oba broja nazivnika] =

1. Vađenje kvadratnog korijena kompleksnog broja u algebarskom obliku

Definicija. Složeni broj
zove kvadratni korijen kompleksnog broja z, Ako
.

Primjer 7 Izračunati
.

Otopina. Neka
= x + yi, Zatim

Riješimo zasebno bikvadratnu jednadžbu:

Odgovor: (-3 + 4 ja; 3 ‑ 4ja}.

Drugo rješenje je moguće nakon uvođenja trigonometrijskog oblika zapisa kompleksnog broja (vidi str. 14).

1. Rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi za kompleksne brojeve

U domeni kompleksnih brojeva vrijede iste formule za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi kao iu domeni realnih brojeva.

Primjer 8 Riješite jednadžbu: (-2 - ja)z = 3 +ja.

Primjer 9 Riješite jednadžbu:
.

Otopina. Upotrijebimo formulu da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe:

Odgovor: (-2 + ja; ‑2 –ja} .

Primjer 10 Riješite jednadžbu:
.

Otopina:

Odgovor: (1 - 2 ja; 1 –ja} .

Primjer 11 Riješite jednadžbu:
.

Otopina:

Idemo izračunati
:

Sustav sastavljamo izjednačavanjem realnog i imaginarnog dijela lijeve i desne strane jednakosti:

Odgovor: (2; ja} .

Primjer 12 Riješite sustav jednadžbi:

Otopina. Izražavamo varijablu iz prve jednadžbe sustava x preko varijable g:

Množimo brojnik i nazivnik razlomka s konjugatom nazivnika:

U brojniku razlomka otvorite zagrade i navedite slične članove:

Zamijenite dobivenu vrijednost varijable x u drugu jednadžbu sustava:

;

Odgovor: (1 + ja; ja}.

1. Trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnih brojeva

   1. Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Pri proučavanju svojstava kompleksnih brojeva vrlo je zgodna njihova geometrijska interpretacija. Budući da je kompleksni broj definiran kao par realnih brojeva, onda svaki kompleksni broj z = a + dvo predstavljena točkom na ravnini ( x, g) s koordinatama x = a I g = b. Ovaj avion se zove složena ravnina, apscisna os je stvarna (Re z), a os ordinata je imaginarna os (Sl z).

Primjer 13 Nacrtaj na ravninu točke koje odgovaraju brojevima:

R odluka. z Na broju z 1 realni dio jednak je –2, a imaginarni dio – 0. Dakle, slika broja

1 je točka (-2, 0) (Sl. 1.1). z Na broju z 2 realni dio jednak je 0, a imaginarni dio jednak 3. Dakle, slika broja z 2 je točka (0, 3). Na broju z 3 realni dio je jednak 1, a imaginarni dio jednak je 4. Prema tome, slika broja

1 je točka (-2, 0) (Sl. 1.1). z 3 je točka (1, -4). z 4 realni dio je 1 a imaginarni dio je 1. Dakle, slika broja

1 je točka (-2, 0) (Sl. 1.1). z 4 je točka (1, 1). z 5 realni dio je jednak -3, a imaginarni dio je jednak -2. Prema tome, slika broja

5 je točka (-3, -2). Konjugirani brojevi predstavljeni su točkama na kompleksnoj ravnini, simetričnim u odnosu na realna os z.

Ponovno

U skladu s definicijom dijeljenja realnih brojeva utvrđuje se sljedeća definicija.

Definicija. Dijeljenje kompleksnog broja a + bi kompleksnim brojem a" + b"i znači pronalaženje broja x + yi koji, kada se pomnoži djeliteljem, daje dividendu.

Dobivamo specifično pravilo dijeljenja tako da kvocijent zapišemo kao razlomak i pomnožimo brojnik i nazivnik tog razlomka s brojem konjugiranim nazivniku: (a + bi):(c + di)=

Primjer 1. Nađi kvocijent (7 - 4i):(3 + 2i).

Nakon što smo napisali razlomak (7 - 4i)/(3 + 2i), proširujemo ga na broj 3 - 2i konjugiran na 3 + 2i. Dobivamo:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Primjer 1 prethodnog odlomka daje provjeru.

Primjer 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0,92i.

Da bismo dokazali da je desna strana doista kvocijent, dovoljno ju je pomnožiti s a" + b". Dobivamo + bi.

Rješavanje jednadžbi s kompleksnim varijablama

varijabla zbrajanja složenog broja Razmotrimo najprije najjednostavniju kvadratnu jednadžbu z2 = a, gdje je a dati broj

• , z - nepoznato. Na skupu realnih brojeva ova jednadžba je:
• 1) ima jedan korijen z = 0 ako je a = 0;
• 2) ima dva realna korijena z1,2 = ako je a>0;

3) nema prave korijene ako je a

Na skupu kompleksnih brojeva ova jednadžba uvijek ima korijen.

• Zadatak 1. Naći kompleksne korijene jednadžbe z2 = a ako je:
• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 2) z2 = -25. Uzimajući u obzir da je i2 = -1, transformiramo ovu jednadžbu:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, odakle je z1 = 5i, z2 = -5i. Odgovor:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Odgovor: z1,2 = i.

Općenito, jednadžba z2 = a, gdje je a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Koristeći jednakost i2 = -1, kvadratni korijeni Uobičajeno je pisati negativne brojeve na sljedeći način: = i, = 2i, = i.

Dakle, definirano za bilo koji realni broj a (pozitivan, negativan i nula). Prema tome, svaka kvadratna jednadžba az2 + bz + c = 0, gdje su a, b, c - realni brojevi, i 0, ima korijene. Ti se korijeni nalaze prema dobro poznatoj formuli:

Zadatak 2. Riješite jednadžbu z2-4z+13=0. Pomoću formule nalazimo: z1,2 = = = 2 3i.

Imajte na umu da su korijeni pronađeni u ovom problemu konjugirani: z1=2+3i i z2=2-3i. Nađimo zbroj i umnožak ovih korijena: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Broj 4 je 2. koeficijent jednadžbe z2-4z+13=0, uzet sa suprotnim predznakom, a broj 13 je slobodan član, odnosno u ovom slučaju vrijedi Vietin teorem. Za svaku kvadratnu jednadžbu vrijedi: ako su z1 i z2 korijeni jednadžbe az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Zadatak 3. Sastavite reduciranu kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima koji imaju korijen z1=-1-2i.

Drugi korijen z2 jednadžbe je broj konjugiran danom korijenu z1, to jest, z2=-1+2i. Pomoću Vietinog teorema nalazimo

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Odgovor je z2-2z+5=0.