1.Единичная функция включения Хевисайда, дельта функция Дирака и их основные свойства
Единичная функция Хевисайда
Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция , функция единичного скачка , включенная единица ) - кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице - для положительных. В нуле эта функция не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:
Другое распространённое определение:
Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется для записи эмпирической функции распределения.
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, H " = δ, это также можно записать как:
Дельта-функция
δ -функция (или дельта-функция, δ -функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция ) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
Например, плотность единичной точечной массы, находящейся в точке a евклидова пространства , записывается с помощью δ-функции в виде δ(x − a ). Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.
δ-функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.
δ-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к δ-функции.
Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.
Свойства
Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:
Фильтрующее свойство дельта-функции:
2. Фильтр верхних частот (ФВЧ) - электронный или любой другой фильтр, пропускающий высокие частоты входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала меньше, чем частота среза. Степень подавления зависит от конкретного типа фильтра. Пассивный фильтр - электронный фильтр, состоящий только из пассивных компонентов, таких как, к примеру, конденсаторы и резисторы. Пассивные фильтры не требуют никакого источника энергии для своего функционирования. В отличие от активных фильтров в пассивных фильтрах не происходит усиления сигнала по мощности. Практически всегда пассивные фильтры являются линейными.
простейший электронный фильтр верхних частот состоит из последовательно соединённых конденсатора и резистора. Конденсатор пропускает лишь переменный ток, а выходное напряжение снимается с резистора. Произведение сопротивления на ёмкость (R×C) является постоянной времени для такого фильтра, которая обратно пропорциональна частоте среза в герцах.
(Либо так )
Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можно с помощью замены переменной: где n – граничная частота полосы пропускания ФНЧ и
Преобразование схем пассивных LC -фильтров . Замена переменных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ |H p (j )| 2 фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное сопротивление ФНЧ j н.ч L н.ч переходит при преобразовании частот (17.31) в сопротивление: т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где C в.ч = 1/ п 2 L н.ч.
Емкостная проводимость: переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивностью L в.ч = 1/ п 2 C н.ч.
Преобразование передаточных функций активных RC-фильтров . В активных RC-фильтрах для того, чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-прототипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из (17.31) получаем для ФВЧ
или (17.34) где н.ч = н.ч/п и в.ч = в.ч/ п.
(Либо как писали на факультативе)
Введение
Развитие науки требует для ее теоретического обоснования все более и более «высокой математики», одним из достижений которой являются обобщенные функции, в частности функция Дирака. В настоящее время теория обобщенных функций актуальна в физике и математике, так как обладает рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа, расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям в вычислениях, автоматизируя элементарные операции.
Цели данной работы:
1) изучить понятие функции Дирака;
2) рассмотреть физический и математический подходы к ее определению;
3) показать применение к нахождению производных разрывных функций.
Задачи работы: показать возможности использования дельта-функции в математике и физике.
В работе представлены различные способы определения и введения дельта-функции Дирака, ее применение при решении задач.
Определение функции Дирака
Основные понятия.
В разных вопросах математического анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные, но не дифференцируемые функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз и т.д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т.е. как произвольное правило, относящее каждому значению x из области определения этой функции некоторое число y=f(x), оказывается недостаточным.
Вот важный пример: применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, нам приходится сталкиваться с таким положением, когда те или иные операции анализа оказываются невыполнимыми; например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как элементарную функцию. Затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой.
В 1930 году для решения задач теоретической физики крупнейшему английскому физику-теоретику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил далеко за рамки классического определения функции.
П. Дирак в книге «Принципы квантовой механики» определил дельта-функцию д(x) следующим образом:
Кроме того задается условие:
Наглядно можно представить график функции, похожей на д(x), как показано на рисунке 1. Чем более узкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия д(x) = 0 при x ? 0 , функция приближается к дельта-функции.
Такое представление общепринято в физике.
Следует подчеркнуть, что д(x) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:
при и.
В классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.
Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:
Определение 1. Изображением функции f(t) или L - изображением заданной функции f(t) называют функцию комплексной переменной p,определяемую равенством:
Определение 2. Функция f(t) , определенная так:
называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через. График этой функции изображен на рис.2
Найдем L - изображение функции Хевисайда:
Пусть функция f(t) при t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t Для нахождения изображения д(x) с помощью вспомогательной функции рассмотрим теорему запаздывания: Теорема 1.
Если F(p) есть изображение функции f(t), то есть изображение функции f(t-t
0
), то есть если L{f(t)}=F(p), то
. Доказательство.
По определению изображения имеем Первый интеграл равен нулю, так как f(t-t
0
)=0
при t Таким образом, . Для единичной функции Хевисайда было установлено, что. На основании доказанной теоремы следует, что для функции, L -
изображением будет, то есть Определение 3.
Непрерывная или кусочно-непрерывная функция д(t,л)
аргумента t
, зависящая от параметра л
, называется иглообразной
, если: Определение 4.
Числовую функцию f
, определенную на некотором линейном пространстве L
, называют функционалом
. Зададим совокупность тех функций, на которых будут действовать функционалы. В качестве этой совокупности рассмотрим множество K
всех вещественных функций ц(x)
, каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна, то есть обращается в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой из функций ц(x)
). Эти функции будем называть основными
, а всю их совокупность К
- основным пространством
. Определение 5
. Обобщенной функцией
называется всякий линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К
. Расшифруем определение обобщенной функции: 1) обобщенная функция f
есть функционал на основных функциях ц
, то есть каждой ц
сопоставляется (комплексное) число (f, ц)
; 2) функционал f
линейный, то есть для любых комплексных чисел л
1
и л
2
и любых основных функций ц
1
и ц
2
; 3) функционал f
непрерывный, то есть, если. Определение 6.
Импульс
- одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения. Определение 7.
Средняя плотность
- отношение массы тела m
к его объему V
, то есть . Теорема 2.
(Обобщенная теорема о среднем). Если f(t) - непрерывная, а - интегрируемая функции на , причем на этом отрезке не меняет знака, то, где
. Теорема 3.
Пусть функция f(x), ограничена на и имеет не более конечного числа точек разрыва. Тогда функция является первообразной для функции f(x) на отрезке и для любой первообразной Ф(x) справедлива формула
. Определение 8.
Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном пространстве Е
, образует линейное пространство. Оно называется пространством, сопряженным
с Е
, и обозначается Е
*
. Определение 9.
Линейное пространство Е
, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством
. Определение 10.
Последовательность называется слабо сходящейся
к, если для каждого выполнено соотношение. Теорема 4.
Если {x
n
} - слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что
. Определение
.
Дельта-функция ,
моделирует
точечное возмущение и определяется в
виде Функция
равна нулю во всех точках, кроме Рис.1
.
Дельта-функция Условие
нормировки
Площадь
под графиком функции равна единице в
любом интервале, содержащем точку a
,
как показано на рис 1,б
.
Поэтому дельта-функция моделирует
точечное возмущение единичной величины. Четность
функции
следует из (2.1) Из
симметрии
как
следует из рис 1,б
. Ортонормированность
.
Множество функций образует
ортонормированный бесконечномерный
базис. Дельта-функцию
применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в
электромагнитной теории – Хевисайд в
90-х годах XIX
в. Густав
Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд
(1850–1925) Оливер
Хевисайд – ученый самоучка, впервые
использовал в физике векторы, разработал
векторный анализ, ввел понятие оператора
и разработал операционное исчисление
– операторный метод решения дифференциальных
уравнений. Ввел функцию включения,
названную позже его именем, использовал
точечную импульсную функцию –
дельта-функцию. Применил комплексные
числа в теории электрических цепей.
Впервые записал уравнения Максвелла в
виде 4-х равенств вместо 20 уравнений,
как было у Максвелла. Ввел термины:
проводимость,
импеданс, индуктивность, электрет
.
Разработал теорию телеграфной связи
на большие расстояния, предсказал
наличие у Земли ионосферы – слой
Кеннелли–Хевисайда
. Математическую
теорию обобщенных функций разработал
Сергей Львович Соболев в 1936 г. Он был
одним из основателей Новосибирского
Академгородка. Его именем назван Институт
математики СО РАН, основателем и
директором которого он был с 1957 г. по
1983 г. Сергей
Львович Соболев (1908–1989) Для
гладкой функции
получаем
фильтрующее
свойство дельта-функции в дифференциальной
форме
,
затрагивающее одну точку
Полагаем
Интегрируем
(2.3) по интервалу
В
(2.5) полагаем и
получаем условие ортонормированности
базиса
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Определение
. Дельта-функция а
обобщенной функцией
Рис.1
. Дельта-функция Условие нормировки
a
, как показано на рис 1,б
Четность функции
следует из (2.1) как следует из рис 1,б
. Ортонормированность
. Множество функций
Свойства ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
Фильтрующее свойство
получаем б
, находим Ортонормированность базиса
В (2.5) полагаем , Выполняется Доказательство
Упрощение аргумента
Если – корни функции
, тогда
Доказательство
В малой окрестности разлагаем
в ряд Тейлора и ограничиваемся первыми двумя слагаемыми Используем (2.8) Сравниваем подынтегральные функции и получаем (2.9). Свертка
Из определения свертки (1.22) при Полагаем и (2.35а) дают получаем
. (2.36а) и (2.36а) дают получаем Гребенчатая функция
Моделирует неограниченную кристаллическую решетку, антенну и другие периодические структуры. При Фурье-преобразовании гребенчатая функция переходит в гребенчатую функцию. получаем Свойства
Функция четная периодическая период . Фильтрующее свойство дельта-функций дает Фурье-образ
Для периодической функции с периодом L
Фурье-образ выражается через коэффициенты Фурье Для гребенчатой функции с периодом получаем где учтено фильтрующее свойство дельта-функции. Из (1.47) находим Фурье-образ Фурье-образом гребенчатой функции является гребенчатая функция
. Из (2.56) по теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента получаем Увеличение периода гребенчатой функции
() уменьшает период и увеличивает амплитуду ее спектра
. Ряд Фурье
Используем Для ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Определение
. Дельта-функция моделирует точечное возмущение и определяется в виде Функция равна нулю во всех точках, кроме , где ее аргумент равен нулю, и где функция бесконечная, как показано на рис. 1,а
. Задание значениями в точках аргумента неоднозначно из-за ее обращения в бесконечность, поэтому дельта-функция является обобщенной функцией
, и требует доопределения в виде нормировки. Рис.1
. Дельта-функция Условие нормировки
Площадь под графиком функции равна единице в любом интервале, содержащем точку a
, как показано на рис 1,б
. Поэтому дельта-функция моделирует точечное возмущение единичной величины. Четность функции
следует из (2.1) Из симметрии относительно точки получаем как следует из рис 1,б
. Ортонормированность
. Множество функций образует ортонормированный бесконечномерный базис. Дельта-функцию применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в электромагнитной теории – Хевисайд в 90-х годах XIX в. Густав Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд (1850–1925) Оливер Хевисайд – ученый самоучка, впервые использовал в физике векторы, разработал векторный анализ, ввел понятие оператора и разработал операционное исчисление – операторный метод решения дифференциальных уравнений. Ввел функцию включения, названную позже его именем, использовал точечную импульсную функцию – дельта-функцию. Применил комплексные числа в теории электрических цепей. Впервые записал уравнения Максвелла в виде 4-х равенств вместо 20 уравнений, как было у Максвелла. Ввел термины: проводимость, импеданс, индуктивность, электрет
. Разработал теорию телеграфной связи на большие расстояния, предсказал наличие у Земли ионосферы – слой Кеннелли–Хевисайда. Математическую теорию обобщенных функций разработал Сергей Львович Соболев в 1936 г. Он был одним из основателей Новосибирского Академгородка. Его именем назван Институт математики СО РАН. Сергей Львович Соболев (1908–1989) Свойства ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
Фильтрующее свойство
Для гладкой функции , не имеющей разрывов, из (2.1) получаем Полагая , и используя дельта-функцию в виде предела при , показанного на рис. 1,б
, находим Интегрирование дает фильтрующее свойство в интегральной форме Ортонормированность базиса
В (2.5) полагаем , и получаем условие ортонормированности базиса с непрерывным спектром Масштабное преобразование аргумента
Выполняется Доказательство
Интегрируем произведение дельта функции с гладкой функцией по интервалу , где : где сделана замена переменной и использовано фильтрующее свойство . Сравнение начального и конечного выражений дает (2.8). Упрощение аргумента
Если – корни функции
, тогда
Доказательство
Функция отлична от нуля только вблизи точек , в этих точках она бесконечна. Для нахождения веса, с которым входит бесконечность, интегрируем произведение с гладкой функцией по интервалу . Не равны нулю вклады только в окрестности точек Теорема Фурье о смещении аргумента и (2.35а) дают Из (1.1) и интегрального представления (2.24) получаем
. (2.36а) Теорема Фурье о фазовом сдвиге функции и (2.36а) дают Из (2.35а) и теоремы Фурье о дифференцировании Из (2.36а) и теоремы Фурье об умножении на аргумент получаем
(2.1)
,
где ее аргумент равен нулю, и где функция
бесконечная, как показано на рис. 1,а
.
Задание
значениями в точках аргумента неоднозначно
из-за ее обращения в бесконечность,
поэтому дельта-функция является
обобщенной
функцией
,
и требует доопределения в виде нормировки.
,
.
(2.2)
,
.
(2.2а)
относительно точки
получаем
,
(2.2б)
,
,
Свойства дельта-функции Фильтрующее свойство
,
не имеющей разрывов, из (2.1)
:
,
и используем для дельта-функции предел
при
,
показанный на рис. 1,б
.
Находим
,
.
(2.4)
,
включающем точку a
,
учитываем нормировку (2.2) и получаем
фильтрующее
свойство дельта-функции в интегральной
форме
,
.
(2.5)Ортонормированность базиса
,
,
с непрерывным спектром значений
.
(2.7)
(2.1)
, . (2.2)
. (2.2а)
, (2.2б)
,
, . (2.5)
,
. (2.7)
,
, (2.8)
. (2.9)
.
,
получаем
.
, и находим
. (2.35а)
. (2.35б)
. (2.36б)
. (2.37а)
. (2.37б)
(2.53)
,
(2.8)
. (2.54)
,
,
. (2.55)
, (1.47)
, (1.49)
,
. (2.56)
. (2.59)
, получаем (2.1) , . (2.2) . (2.2а) , (2.2б) , , . (2.5) , . (2.7) , , (2.8) . (2.9) . , (2.10)
. . (2.35а) . (2.35б) . (2.36б) . (2.37а) . (2.37б)