Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:

,

где  производная модуля скорости,  единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке:

,

где R  радиус кривизны траектории,  единичный вектор нормали.

Модуль вектора ускорения может быть найден по формуле

.

1.3. Основная задача кинематики

Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

;
;
;
;

.

Частные случаи прямолинейного движения:

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равнопеременное прямолинейное движение:
.

1.4. Вращательное движение и его кинематические характеристики

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).

Угловое перемещение
 вектор, численно равный углу поворота тела
за время
и направленный вдоль оси вращения так, что, глядя вдоль него, поворот тела наблюдается происходящим по часовой стрелке.

Угловая скорость  характеризует быстроту и направление вращения тела, равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.

При вращательном движении справедливы следующие формулы:

;
;
.

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно первой производной угловой скорости и направлено вдоль оси вращения:

;
;
.

Зависимость
выражает закон вращения тела.

При равномерном вращении:  = 0,  = const,  = t.

При равнопеременном вращении:  = const,
,
.

Для характеристики равномерного вращательного движения используются период вращения и частота вращения.

Период вращения Т – время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью.

Частота вращения  – количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

Угловая скорость может быть выражена следующим образом:

.

Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):

2. Динамика поступательного и вращательного движений

1. Законы Ньютона Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Система отсчёта, связанная со свободным телом, называется инерциальной системой отсчёта (ИСО). По отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.

К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля , существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,,...,может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы:

=++...+=.

Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствие внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
.

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:
.

Второй закон Ньютона : скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

.

Если масса тела остается постоянной, то ускорение, приобретаемое телом относительно инер­ци­аль­ной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

.

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

Виды ускорений в СТО.

Итак, мы показали, что существует два вида измеримых скоростей. Кроме того, быстрота, измеряемая в тех же единицах, тоже очень интересна. При малых значениях все эти скорости равны.

А сколько же существует ускорений? Какое ускорение должно быть константой при равноускоренном движении релятивистской ракеты, чтобы космонавт всегда оказывал на пол ракеты одну и ту же силу, чтобы он не стал невесомым, или чтобы он не умер от перегрузок?

Введем определения разных видов ускорений.

Координатно-координатное ускорение dv /dt это изменение координатной скорости , измеренное по синхронизированным координатным часам

dv /dt=d 2 r /dt 2 .

Забегая вперед, заметим, что dv /dt = 1·dv /dt = g 0 dv /dt.

Координатно-собственное ускорение dv /dt это изменение координатной скорости, измеренное по собственным часам

dv /dt=d(dr /dt)/dt = gd 2 r /dt 2 .
dv /dt = g 1 dv /dt.

Собственно-координатное ускорение db /dt это изменение собственной скорости, измеренное по синхронизированным координатным часам , расставленным по ходу движения пробного тела:

db /dt = d(dr /dt)/dt = g 3 v (v dv /dt)/c 2 + gdv /dt.
Если v || dv /dt, тогда db /dt = g 3 dv /dt.
Если v перпендикулярно dv /dt, тогда db /dt = gdv /dt.

Собственно-собственное ускорение db /dt это изменение собственной скорости, измеренное пособственным часам , связанным с движущимся телом:

db /dt = d(dr /dt)/dt = g 4 v (v dv /dt)/c 2 + g 2 dv /dt.
Если v || dv /dt, тогдаdb /dt = g 4 dv /dt.
Если v перпендикулярно dv /dt, тогда db /dt = g 2 dv /dt.

Сравнивая показатели при коэффициенте g в четырех типах ускорений, записанных выше, замечаем, что в этой группе отсутствует член с коэффициентом g 2 при параллельных ускорениях. Но мы еще не взяли производные от быстроты. Это ведь тоже скорость. Возьмём производную по времени от быстроты, воспользовавшись формулой v/c = th(r/c):

dr/dt = (c·arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

А если взять dr/dt, получим:

dr/dt = g 3 dv/dt,

или dr/dt = db/dt.

Следовательно, мы имеем две измеримые скорости v и b , и ещё одну, неизмеримую, но наиболее симметричную, быстроту r. И шесть видов ускорений, два из которых dr/dt и db/dt совпадают. Какое же из этих ускорений является собственным, т.е. ощущаемым ускоряющимся телом?

К собственному ускорению мы вернемся ниже, а пока выясним, какое ускорение входит во второй закон Ньютона. Как известно, в релятивистской механике второй закон механики, записанный в видеf =ma , оказывается ошибочным. Вместо него силу и ускорение связывает уравнение

f = m (g 3 v (va )/c 2 + ga ),

которое является основой для инженерных расчетов релятивистских ускорителей. Если мы сравним это уравнение с только что полученным уравнением для ускорения db /dt:

db /dt = g 3 v (v dv /dt)/c 2 + gdv /dt,

то заметим, что они отличаются лишь множителем m. То есть, можно записать:

f = m·db /dt.

Последнее уравнение возвращает массе статус меры инертности в релятивистской механике. Сила, действующая на тело, пропорциональна ускорению db /dt. Коэффициентом пропорциональности является инвариантная масса. Вектора силы f иускорение db /dt сонаправлены при любой ориентации векторов v иa , или b и db /dt.

Формула, записанная через ускорение dv /dt, не дает такой пропорциональности. Сила и координатно-координатное ускорение в общем случае не совпадают по направлению. Параллельными они будут лишь в двух случаях: если вектора v иdv /dtпараллельны друг другу, и если они перпендикулярны друг другу. Но в первом случае сила f =mg 3 dv /dt, а во втором - f =mgdv /dt.

Таким образом, в законе Ньютона мы должны использовать ускорение db /dt, то есть, изменениесобственной скоростиb , измеренное по синхронизированным часам.

Возможно с таким же успехом можно будет доказать, что f = mdr /dt, где dr /dt - вектор собственного убыстрения, но быстрота величина неизмеримая, хотя и легко вычисляема. Будет ли верно векторное равенство, сказать не берусь, но скалярное равенство справедливо в силу того, что dr/dt=db/dt и f =mdb /dt.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение > – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

где – вектор ускорения .

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0 . В момент времени t2 тело имеет скорость . Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = - 0 . Тогда определить ускорение можно так:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.

В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

Направление ускорения также совпадает с направлением изменения скорости Δ при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости. Вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие оси координат в данной системе отсчёта (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости 2 . Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов :

Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.

Кинематические величины

Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.

В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.

Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:

Скорость - это по времени производная пути.

Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:

Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.

Траектория движения и ускорение

Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:

• касательную;
• нормальную.

В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.

Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.

Определение тангенциального ускорения

Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.

Выше было дано понятие ускорения как меры изменения скорости. Поскольку скорость - это вектор, то изменить ее можно либо по модулю, либо по направлению. Касательное ускорение определяет только изменение модуля скорости.

Заметим, что в случае прямолинейного движения вектор скорости своего направления не меняет, поэтому, в соответствии с приведенным определением, тангенциальное ускорение и линейное ускорение - это одна и та же величина.

Получение уравнения касательного ускорения

Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:

Здесь v — модуль вектора v¯, u t ¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.

Используя математическое определение ускорения, получаем:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u t ¯)/dt = dv/dt*u t ¯ + v*d(u t ¯)/dt

При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.

Скажем пару слов о Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:

a n = v*d(u t ¯)/dt = v 2 /r

Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.

Уравнение касательного ускорения a t ¯ имеет вид:

Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.

и модуль полного ускорения

Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:

a = √(a n 2 + a t 2)

Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:

Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.

Связь касательного и углового ускорения

Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.

Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:

Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:

Линейная скорость в этом случае будет равна:

Где r - радиус траектории. Последние два выражения позволяют записать формулу связи двух скоростей:

Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:

В правой части равенства стоит произведение на радиус окружности. Левая же часть равенства - это изменение модуля скорости, то есть касательное ускорение.

Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:

Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.

Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости

Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:

Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.

Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:

То есть для вычисления функции a t (t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:

a t = d(2*t 2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3

Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: a t = 23 м/с 2 .

Заметим, что графиком скорости от времени в данной задаче является парабола, график же тангенциального ускорения - это прямая линия.

Задача на определение тангенциального ускорения

Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с 2 . Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.

Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения a c:

Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:

При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:

Подставляя ω в равенство для a c , получим:

Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:

Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:

a c = a t 2 /r 2 *t 2 *r = a t 2 /r*t 2 =>

a t = √(a c *r)/t

Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: a t = 0,447 м/с 2 .

Разложение ускорения a (t) {\displaystyle \mathbf {a} (t)\ \ } на тангенциальное и нормальное a n {\displaystyle \mathbf {a} _{n}} ; ( τ {\displaystyle \mathbf {\tau } } - единичный касательный вектор).

Тангенциа́льное ускоре́ние - компонента ускорения , направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты , характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: a τ {\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }\ \ } или a t {\displaystyle \mathbf {a} _{t}\ \ } , w τ {\displaystyle \mathbf {w} _{\tau }\ \ } , u τ {\displaystyle \mathbf {u} _{\tau }\ \ } и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная - a τ {\displaystyle a_{\tau }\ \ } , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

  a τ = d v d t , {\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}},}

  где v = d l / d t {\displaystyle v\ =dl/dt} - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

  Если использовать для единичного касательного вектора обозначение e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }\ } , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

  a τ = d v d t e τ . {\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {e} _{\tau }.}

  Вывод

  Вывод 1

  Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\,\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  где первое слагаемое - тангенциальное ускорение, а второе - нормальное ускорение .

  Здесь использовано обозначение e n {\displaystyle e_{n}\ } для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное

  d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ }

  и, из геометрических соображений,

  d e τ d l = e n R . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.}

  Вывод 2

  Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  То и другое следует из того, что угол вектора к касательной будет не ниже первого порядка по . Отсюда сразу же следует искомая формула.

  Говоря менее строго, проекция v {\displaystyle \mathbf {v} \ } на касательную при малых d t {\displaystyle dt\ } будет практически совпадать с длиной вектора v {\displaystyle \mathbf {v} \ } , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых d t {\displaystyle dt\ } всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице .

  Замечания

  Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.