Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением
Из основного закона динамики (второго закона Ньютона ) следует:
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения ). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с) .
Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы . Импульс силы также является векторной величиной.
В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:
И зменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы .
Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде
Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:
Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY ). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ 0 под действием силы тяжести; время падения равно t . Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести F т = mg за время t равен mgt . Этот импульс равен изменению импульса тела
Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения . В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t . Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы F ср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.
Выберем на оси времени малый интервал Δt , в течение которого сила F (t ) остается практически неизменной. Импульс силы F (t ) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δt i , а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δt i , то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δt i → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t ) и осью t . Этот метод определения импульса силы по графику F (t ) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t ) на интервале .
Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t 1 = 0 с до t 2 = 10 с равен:
В этом простом примере
В некоторых случаях среднюю силу F ср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10 –3 с.
Импульс p , приобретенный мячом в результате удара есть:
Следовательно, средняя сила F ср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:
Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.
Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов , на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX ) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора
При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью ,после отскока мяч будет иметь скорость . Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно
В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δp x = –2m υx . Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δp x > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2m υ.
Импульс... Понятие, довольно часто используемое в физике. Что понимают под этим термином? Если задать этот вопрос простому обывателю, в большинстве случаев мы получим ответ, что импульс тела - это определенное воздействие (толчок или удар), оказываемое на тело, благодаря чему оно получает возможность двигаться в заданном направлении. В целом довольно верное объяснение.
Импульс тела - определение, с которым мы впервые сталкиваемся в школе: на уроке физики нам показывали, как по наклонной поверхности скатывалась небольшая тележка и сталкивала со стола металлический шарик. Именно тогда мы рассуждали, что может оказать влияние на силу и длительность этого Из подобных наблюдений и умозаключений много лет назад и родилось понятие импульса тела как характеристики движения, напрямую зависящей от скорости и массы объекта.
Сам термин в науку ввел француз Рене Декарт. Произошло это в начале XVII века. Ученый объяснял импульс тела не иначе как «количество движения». Как говорил сам Декарт, если одно движущееся тело сталкивается с другим, оно теряет столько своей энергии, сколько отдает другому объекту. Потенциал тела, по мнению физика, никуда не исчезал, а лишь передавался от одного предмета другому.
Основной характеристикой, которой обладает импульс тела, является его направленность. Иначе говоря, он представляет собой Отсюда следует и такое утверждение, что всякое тело, находящееся в движении, обладает определенным импульсом.
Формула воздействия одного объекта на другой: p = mv, где v - скорость тела (векторная величина), m - масса тела.
Однако импульс тела - не единственная величина, определяющая движение. Почему одни тела, в отличие от других, не теряют его продолжительное время?
Ответом на этот вопрос стало появление еще одного понятия - импульса силы, который определяет величину и продолжительность воздействия на предмет. Именно он позволяет нам определять, как изменяется импульс тела за определенный промежуток времени. Импульс силы представляет собой произведение величины воздействия (собственно силы) на продолжительность его приложения (время).
Одним из наиболее примечательных особенностей ИТ является его сохранение в неизменном виде при условии замкнутой системы. Иначе говоря, при отсутствии иных воздействий на два предмета, импульс тела между ними будет оставаться стабильным сколько угодно долго. Принцип сохранения можно учитывать и в ситуации, когда внешнее воздействие на объект присутствует, но его векторное воздействие равно 0. Также импульс не изменится и в том случае, когда воздействие этих сил незначительно или действует на тело весьма непродолжительный период времени (как, например, при выстреле).
Именно этот закон сохранения не одну сотню лет не дает покоя изобретателям, ломающим голову над созданием пресловутого «вечного двигателя», так как именно он лежит в основе такого понятия, как
Что касается применения знаний о таком явлении, как импульс тела, то их используют при разработке ракет, вооружения и новых, пусть и не вечных, механизмов.
Законы, сформулированных Ньютоном , позволяют решить различные практически важные задачи, касающиеся взаимодействия и движения тел. Большое число таких задач связано, например, с нахождением ускорения движущегося тела, если известны все действующие на это тело силы. А далее по ускорению можно определить и другие величины, такие как перемещение, мгновенную скорость и др.
Прежде чем сформулировать закон сохранения импульса, давайте введем понятие импульса и проследим, каким образом связано это понятие с законами Ньютона, с которыми мы познакомились ранее.
Основным законом динамики, как мы уже говорили, является второй закон Ньютона, связывающий ускорение тела с его массой m и силой , действующей на это тело:
Зная связь ускорения тела со скоростью его движения и предполагая, что масса тела не изменяется с течением времени, выражение можно переписать несколько в ином виде:
Полученное выражение показывает, что результат действия силы можно понимать и несколько иначе, чем мы делали это раньше: действие силы на тело приводит к изменению некоторой величины, характеризующей это тело, которая равна произведению массы тела на скорость его движения . Эту величину называют импульсом тела :
Направление вектора импульса тела всегда совпадает с направлением вектора скорости движения.
Слово "импульс" в переводе с латинского означает "толчок". В некоторых книгах вместо термина "импульс" используется термин "количество движения".
Эта величина была введена в науку примерно в тот же период времени, когда Ньютоном были открыты законы, названные впоследствии его именем. Ещё в первой половине XVII века понятие импульса введено Рене Декартом. Так как физическое понятие массы в то время отсутствовало, он определил импульс как произведение «величины тела на скорость его движения». Позже такое определение было уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».
Поскольку , то за единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой 1 кг, движущегося со скорость 1 м/с. Соответственно единицей импульса тела в СИ является 1 кг * м/c.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой .
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса . Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона Если эти тела взаимодействуют в течение времени t
, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны: Применим к этим телам второй закон Ньютона:
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение.
При стрельбе из орудия возникает отдача
– снаряд движется вперед, а пушка– откатывается назад. Снаряд и пушка – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает пушка при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс. Если скорости пушки и снаряда обозначить через и а их массы через M
и m
, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX:
Если тело покоится, импульс равен нулю. Ненулевым импульсом обладает любое, движущееся тело. Например, когда мяч покоится, его импульс равен нулю. После удара он приобретает импульс. Импульс тела изменяется, так как изменяется скорость.
Основные динамические величины: сила, масса, импульс тела, момент силы, момент импульса.
Сила – это векторная величина, являющаяся мерой действия на данное тело других тел или полей.
Сила характеризуется:
· Модулем
· Направлением
· Точкой приложения
В системе СИ сила измеряется в ньютонах.
Для того чтобы понять, что такое сила в один ньютон, нам нужно вспомнить, что сила, приложенная к телу, изменяет его скорость. Кроме того, вспомним о инертности тел, которая, как мы помним, связана с их массой. Итак,
Один ньютон – это такая сила, которая меняет скорость тела массой в 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.
Примерами сил могут служить:
· Сила тяжести – сила, действующая на тело в результате гравитационного взаимодействия.
· Сила упругости – сила, с которой тело сопротивляется внешней нагрузке. Ее причиной является электромагнитное взаимодействие молекул тела.
· Сила Архимеда – сила, связанная с тем, что тело вытесняет некий объем жидкости или газа.
· Сила реакции опоры – сила, с которой опора действует на тело, находящееся на ней.
· Сила трения – сила сопротивления относительному перемещению контактирующих поверхностей тел.
· Сила поверхностного натяжения – сила, возникающая на границе раздела двух сред.
· Вес тела – сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.
И другие силы.
Сила измеряется с помощью специального прибора. Этот прибор называется динамометром (рис. 1). Динамометр состоит из пружины 1, растяжение которой и показывает нам силу, стрелки 2, скользящей по шкале 3, планки-ограничителя 4, которая не дает растянуться пружине слишком сильно, и крючка 5, к которому подвешивается груз.
Рис. 1. Динамометр (Источник)
На тело могут действовать многие силы. Для того чтобы правильно описать движение тела, удобно пользоваться понятием равнодействующей сил.
Равнодействующая сил – это сила, действие которой заменяет действие всех сил, приложенных к телу (Рис. 2).
Зная правила работы с векторными величинами, легко догадаться, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу – это векторная сумма этих сил.
Рис. 2. Равнодействующая двух сил, действующих на тело
Кроме того, поскольку мы с вами рассматриваем движение тела в какой-либо системе координат, нам обычно выгодно рассматривать не саму силу, а ее проекцию на ось. Проекция силы на ось может быть отрицательной или положительной, потому что проекция – это величина скалярная. Так, на рисунке 3 изображены проекции сил, проекция силы – отрицательна, а проекция силы – положительна.
Рис. 3. Проекции сил на ось
Итак, из этого урока мы с вами углубили свое понимание понятия силы. Мы вспомнили единицы измерения силы и прибор, с помощью которого измеряется сила. Кроме того, мы рассмотрели, какие силы существуют в природе. Наконец, мы узнали, как можно действовать в случае, если на тело действует несколько сил.
Масса , физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают Массу инертную и Массу гравитационную (тяжелую, тяготеющую).
Понятие Масса было введено в механику И. Ньютоном. В классической механике Ньютона Масса входит в определение импульса (количества движения) тела: импульс р пропорционален скорости движения тела v , p = mv (1). Коэффициент пропорциональности - постоянная для данного тела величина m - и есть Масса тела. Эквивалентное определение Массы получается из уравнения движения классической механики f = ma (2). Здесь Масса - коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела a . Определенная соотношениями (1) и (2) Масса называется инерциальной массой, или инертной массой; она характеризует динамические свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше Масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, т. е. тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).
Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения Масса этих тел: m 1: m 2: m 3 ... = а 1: а 2: а 3 ... ; если одну из Масс принять за единицу измерения, можно найти Массу остальных тел.
В теории гравитации Ньютона Масса выступает в другой форме - как источник поля тяготения. Каждое тело создает поле тяготения, пропорциональное Массе тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна Массе тел). Это поле вызывает притяжение любого другого тела к данному телу с силой, определяемой законом тяготения Ньютона:
(3)
где r - расстояние между телами, G - универсальная гравитационная постоянная, a m 1 и m 2 - Массы притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для веса Р тела массы m в поле тяготения Земли: Р = mg (4).
Здесь g = G*M/r 2 - ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, а r » R - радиусу Земли. Масса, определяемая соотношениями (3) и (4), называется гравитационной массой тела.
В принципе ниоткуда не следует, что Масса, создающая поле тяготения, определяет и инерцию того же тела. Однако опыт показал, что инертная Масса и гравитационная Масса пропорциональны друг другу (а при обычном выборе единиц измерения численно равны). Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности. Его открытие связано с именем Г.Галилея, установившего, что все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. А.Эйнштейн положил этот принцип (им впервые сформулированный) в основу общей теории относительности. Экспериментально принцип эквивалентности установлен с очень большой точностью. Впервые (1890-1906) прецизионная проверка равенства инертной и гравитационной Масс была произведена Л.Этвешем, который нашел, что Массы совпадают с ошибкой ~ 10 -8 . В 1959-64 годах американские физики Р.Дикке, Р.Кротков и П.Ролл уменьшили ошибку до 10 -11 , а в 1971 году советские физики В.Б.Брагинский и В.И.Панов - до 10 -12 .
Принцип эквивалентности позволяет наиболее естественно определять Массу тела взвешиванием.
Первоначально Масса рассматривалась (например, Ньютоном) как мера количества вещества. Такое определение имеет ясный смысл только для сравнения однородных тел, построенных из одного материала. Оно подчеркивает аддитивность Массы - Масса тела равна сумме Массы его частей. Масса однородного тела пропорциональна его объему, поэтому можно ввести понятие плотности - Массы единицы объема тела.
В классической физике считалось, что Масса тела не изменяется ни в каких процессах. Этому соответствовал закон сохранения Массы (вещества), открытый М.В.Ломоносовым и А.Л.Лавуазье. В частности, этот закон утверждал, что в любой химической реакции сумма Масс исходных компонентов равна сумме Масс конечных компонентов.
Понятие Масса приобрело более глубокий смысл в механике специальной теории относительности А. Эйнштейна, рассматривающей движение тел (или частиц) с очень большими скоростями - сравнимыми со скоростью света с ~ 3 10 10 см/сек. В новой механике - она называется релятивистской механикой - связь между импульсом и скоростью частицы дается соотношением:
(5)
При малых скоростях (v << c ) это соотношение переходит в Ньютоново соотношение р = mv . Поэтому величину m 0 называют массой покоя, а Массу движущейся частицы m определяют как зависящий от скорости коэффициент пропорциональности между p и v :
(6)
Имея в виду, в частности, эту формулу, говорят, что Масса частицы (тела) растет с увеличением ее скорости. Такое релятивистское возрастание Массы частицы по мере повышения ее скорости необходимо учитывать при конструировании ускорителей заряженных частиц высоких энергий. Масса покоя m 0 (Масса в системе отсчета, связанной с частицей) является важнейшей внутренней характеристикой частицы. Все элементарные частицы обладают строго определенными значениями m 0 , присущими данному сорту частиц.
Следует отметить, что в релятивистской механике определение Массы из уравнения движения (2) не эквивалентно определению Массы как коэффициента пропорциональности между импульсом и скоростью частицы, так как ускорение перестает быть параллельным вызвавшей его силе и Масса получается зависящей от направления скорости частицы.
Согласно теории относительности, Масса частицы m связана с ее энергией Е соотношением:
(7)
Масса покоя определяет внутреннюю энергию частицы - так называемую энергию покоя Е 0 = m 0 с 2 . Таким образом, с Массой всегда связана энергия (и наоборот). Поэтому не существует по отдельности (как в классической физике) закона сохранения Массы и закона сохранения энергии - они слиты в единый закон сохранения полной (т. е. включающей энергию покоя частиц) энергии. Приближенное разделение на закон сохранения энергии и закон сохранения Массы возможно лишь в классической физике, когда скорости частиц малы (v << c ) и не происходят процессы превращения частиц.
В релятивистской механике Масса не является аддитивной характеристикой тела. Когда две частицы соединяются, образуя одно составное устойчивое состояние, то при этом выделяется избыток энергии (равный энергии связи) DЕ , который соответствует Массе Dm = DE/с 2 . Поэтому Масса составной частицы меньше суммы Масс образующих его частиц на величину DE/с 2 (так называемый дефект масс). Этот эффект проявляется особенно сильно в ядерных реакциях. Например, Масса дейтрона (d ) меньше суммы Масс протона (p ) и нейтрона (n ); дефект Масс Dm связан с энергией Е g гамма-кванта (g ), рождающегося при образовании дейтрона: р + n -> d + g , E g = Dmc 2 . Дефект Массы, возникающий при образовании составной частицы, отражает органическую связь Массы и энергии.
Единицей Массы в СГС системе единиц служит грамм , а вМеждународной системе единиц СИ - килограмм . Масса атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы. Масса элементарных частиц принято выражать либо в единицах Массы электрона m e , либо в энергетических единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, Масса электрона составляет 0,511 Мэв, Масса протона - 1836,1 m e , или 938,2 Мэв и т. д.
Природа Массы - одна из важнейших нерешенных задач современной физики. Принято считать, что Масса элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и другими). Однако количественная теория Массы еще не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему Масса элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.
В астрофизике Масса тела, создающего гравитационное поле, определяет так называемый гравитационный радиус тела R гр = 2GM/c 2 . Вследствие гравитационного притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R =< R гр . Звезды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали "черными дырами". Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.
Импульс силы. Импульс тела
Понятие импульса было введено еще в первой половине XVII века Рене Декартом, а затем уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, который называл импульс количеством движения, – это есть мера такового, пропорциональная скорости тела и его массе. Современное определение: импульс тела – это физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
Прежде всего, из приведенной формулы видно, что импульс – величина векторная и его направление совпадает с направлением скорости тела, единицей измерения импульса служит:
= [ кг· м/с]
Рассмотрим, каким же образом эта физическая величина связана с законами движения. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что ускорение есть изменение скорости с течением времени:
Налицо связь между действующей на тело силой, точнее, равнодействующей сил и изменением его импульса. Величина произведения силы на промежуток времени носит название импульса силы. Из приведенной формулы видно, что изменение импульса тела равно импульсу силы.
Какие эффекты можно описать с помощью данного уравнения (рис. 1)?
Рис. 1. Связь импульса силы с импульсом тела (Источник)
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆ ), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
МОМЕНТ СИЛЫ - величина, характеризующая вращательный эффект силы; имеет размерность произведения длины на силу. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.
M. с. относительно центра О наз. векторная величина M 0 , равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведённого из O в точку приложения силы F , на силуM 0 = [rF ] или в др. обозначениях M 0 = r F (рис.). Численно M. с. равен произведению модуля силы на плечо h , т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы, или удвоенной площади
треугольника, построенного на центре O и силе:
Направлен вектор M 0 перпендикулярно плоскости, проходящей через O и F . Сторона, куда направляется M 0 , выбирается условно (M 0 - аксиальный вектор). При правой системе координат вектор M 0 направляют в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки.
M. с. относительно оси z наз. скалярная величина M z , равная проекции на ось z вектора M. с. относительно любого центра О , взятого на этой оси; величину M z можно ещё определять как проекцию на плоскость ху , перпендикулярную оси z, площади треугольника OAB или как момент проекции F xy силы F на плоскость ху , взятый относительно точки пересечения оси z с этой плоскостью. T. о.,
В двух последних выражениях M. с. считается положительным, когда поворот силы F xy виден с положит. конца оси z против хода часовой стрелки (в правой системе координат). M. с. относительно координатных осей Oxyz могут также вычисляться по аналитич. ф-лам:
где F x , F y , F z - проекции силы F на координатные оси, х, у, z - координаты точки А приложения силы. Величины M x , M y , M z равны проекциям вектора M 0 на координатные оси.
3.2. Импульс
3.2.2. Изменение импульса тела
Для применения законов изменения и сохранения импульса необходимо уметь рассчитывать изменение импульса.
Изменение импульса Δ P → тела определяется формулой
Δ P → = P → 2 − P → 1 ,
где P → 1 = m v → 1 - начальный импульс тела; P → 2 = m v → 2 - его конечный импульс; m - масса тела; v → 1 - начальная скорость тела; v → 2 - его конечная скорость.
Для вычисления изменения импульса тела целесообразно применять следующий алгоритм :
1) выбрать систему координат и найти проекции начального P → 1 и конечного P → 2 импульсов тела на координатные оси:
P 1 x , P 2 x ;
P 1 y , P 2 y ;
∆P x = P 2 x − P 1 x ;
∆P y = P 2 y − P 1 y ;
3) вычислить модуль вектора изменения импульса Δ P → как
Δ P = Δ P x 2 + Δ P y 2 .
Пример 4. Тело падает под углом 30° к вертикали на горизонтальную плоскость. Определить модуль изменения импульса тела за время удара, если к моменту соприкосновения с плоскостью модуль импульса тела равен 15 кг · м/с. Удар тела о плоскость считать абсолютно упругим.
Решение. Тело, падающее на горизонтальную поверхность под некоторым углом α к вертикали и соударяющееся с данной поверхностью абсолютно упруго,
- во-первых, сохраняет неизменным модуль своей скорости, а значит, и величину импульса:
P 1 = P 2 = P ;
- во-вторых, отражается от поверхности под тем же углом, под каким падает на нее:
α 1 = α 2 = α,
где P 1 = mv 1 - модуль импульса тела до удара; P 2 = mv 2 - модуль импульса тела после удара; m - масса тела; v 1 - величина скорости тела до удара; v 2 - величина скорости тела после удара; α 1 - угол падения; α 2 - угол отражения.
Указанные импульсы тела, углы и система координат показаны на рисунке.
Для расчета модуля изменения импульса тела воспользуемся алгоритмом :
1) запишем проекции импульсов до удара и после удара тела о поверхность на координатные оси:
P 1 x = mv sin α, P 2 x = mv sin α;
P 1 y = −mv cos α, P 2 y = mv cos α;
2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам
Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v sin α − m v sin α = 0 ;
Δ P y = P 2 y − P 1 y = m v cos α − (− m v cos α) = 2 m v cos α ;
Δ P = (Δ P x) 2 + (Δ P y) 2 = (Δ P y) 2 = | Δ P y | = 2 m v cos α .
Величина P = mv задана в условии задачи; следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле
Δ P = 2 P cos 30 ° = 2 ⋅ 15 ⋅ 0,5 3 ≈ 26 кг ⋅ м/с.
Пример 5. Камень массой 50 г брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найти модуль изменения импульса камня за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Если сопротивление воздуха отсутствует, то тело движется по симметричной параболе; при этом
- во-первых, вектор скорости в точке падения тела составляет с горизонтом угол β, равный углу α (α - угол между вектором скорости тела в точке бросания и горизонтом):
- во-вторых, модули скоростей в точке бросания v 0 и в точке падения тела v также одинаковы:
v 0 = v ,
где v 0 - величина скорости тела в точке бросания; v - величина скорости тела в точке падения; α - угол, который составляет вектор скорости с горизонтом в точке бросания тела; β - угол, который составляет с горизонтом вектор скорости в точке падения тела.
Векторы скорости тела (векторы импульса) и углы показаны на рисунке.
Для расчета модуля изменения импульса тела во время полета воспользуемся алгоритмом :
1) запишем проекции импульсов для точки бросания и для точки падения на координатные оси:
P 1 x = mv 0 cos α, P 2 x = mv 0 cos α;
P 1 y = mv 0 sin α, P 2 y = −mv 0 sin α;
2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам
Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v 0 cos α − m v 0 cos α = 0 ;
Δ P y = P 2 y − P 1 y = − m v 0 sin α − m v 0 sin α = − 2 m v 0 sin α ;
3) вычислим модуль изменения импульса как
Δ P = (Δ P x) 2 + (Δ P y) 2 = (Δ P y) 2 = | Δ P y | = 2 m v 0 sin α ,
где m - масса тела; v 0 - модуль начальной скорости тела.
Следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле
Δ P = 2 m v 0 sin 45 ° = 2 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 ⋅ 0,5 2 ≈ 1,4 кг ⋅ м/с.