Лекция 13. Обобщение Максвеллом представлений об электромагнитной индукции. Взаимосвязь переменных электрического и магнитного полей. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, их физическое истолкование Сравнительная характеристика электрического и магнитного полей.

Про классическую теорию электромагнитного взаимодействия и его переносчика - электро­магнитное поле - говорят иногда, что электродинамика Максвелла - это уравнения Максвелла. В 60 - ых годах прошлого столетия Максвелл выполнил работу, подобную той, которую два века до него осуществил Ньютон. Если Ньютон довершил создание первой фунда­ментальной теории движения , то Максвелл завершил создание первой теории физического взаимо­действия (электромагнит­ного). Подобно классической механике Ньютона, в основу электродина­мики Максвелла также были положены некоторые предельно фундаментальные и элеме­нтарные соотношения, выраженные уравнениями, получившими имя Максвелла.

Эти уравнения имеют две формы - интегральную и дифференциальную своего выражения и фактически они выражают взаимосвязь характеристик электромаг­нитного поля с характеристи­ками источников (зарядов и токов), это поле по­рождающих. Эта связь не имеет такого простого выражения, как, например связь мер движения и взаимодействия, выражаемая основным законом динамики - вторым законом Ньютона. Поэтому уравнения Максвелла, выражающие основную идею электродинамики - учения об электромагнитном взаимодействии - появ­ляются при её изучении в вузе - лишь в конце курса.

Как и любые другие предельно общие теоретические положения, уравнения Максвелла в рамках самой электродинамики формально не выводятся. Они получаются как результат творче­ского обобщения разнообразного опытно-экспери­ментального материала, и их правильность подтверждается различными следс­твиями и практическими приложениями.

До Максвелла была известна полная система уравнений электро- и магнито­статики и одно уравнение электродинамики - уравнение, выражающее закон электромагнитной индукции. В целом же эта совокупность уравнений не явля­лась полной системой, однозначно задающей состояние элек­тромагнитного по­ля. Для получения такой системы Максвелл произвёл обобщение закона элект­ро­магнитной индукции e = - dФ¤dt, записав его уравнение в интегральной форме:

= -= - (вектор зависит и от t, и от , а поток Ф = - только от t)

Полученное уравнение можно представлять себе как обобщённую на вихре­вое электрическое поле, теорему о циркуляции вектора в электростатике. Здесь Максвелл фак­тически выбросил проводящий контур, который был у Фарадея и который, по Максвеллу, являлся просто индикатором наличия (по индук­ционным токам) вихревого электрического поля в области вокруг изменяющегося магнитного поля.

В представленной Максвеллом форме закона электромагнитной индукции более выпукло просвечивает физическая суть явления, согласно которому переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое (с ненулевой циркуляцией) электрическое поле. Представив так явление электромагнитной индукции, Максвелл смог, опе­ревшись на соображения симметрии, пред­положить возможность существования в природе и обрат­ного электромагнитной индукции эффекта. Его можно назвать магнитоэле­ктрической индукцией, суть которой в том, что изменяющееся во времени элект­рическое поле, порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Формально это записыва­ется так, что циркуляция напряженности магнитного поля равна быстроте изменения во времени потока индукции электрического поля. С учётом же то­го, что магнитное поле с самого начала (со статического состояния) являе­тся вихревым, то есть для него циркуляция всегда не равна нулю, обоб­щённая взаимосвязь магнитного и электрического полей примет вид:

I + I см, где I см =

Здесь быстрота изменения потока индукции электрического поля формально эквивалентна некоторому току. Этот ток называют током смещения . Можно пре­дставить, что этот ток как бы замыкает протекание тока в цепи, например, с конденсаторами, через которые обычный ток прово­димости не протекает. Плотность тока смещения равна быстроте изменения электрического смещения (вектора ): = (¶/¶t). При разряде заряженного конденсатора по проводам протекает ток проводимости, и, кроме того, в пространстве между пластинами убывает (изменяется) электрическое поле.

Быстрота же изменения индукции электрического поля, то есть ¶¤¶t и есть плотность тока смещения . Ток смещения замыкает ток проводимости в разрывах между проводниками. Он, как и ток проводимости, создаёт вокруг себя магнитное поле, а в диэлектрике (там его называют поляри­зационным то­ком) он выделяет тепло - так называемые диэлектрические потери.

Итак, теперь мы можем записать полную систему уравнений единого элек­тромагнитного поля - систему уравнений Максвелла:

В статическом состоянии электрическое (электростатическое) поле порождается только неподвижными (или равномерно движущимися) в данной ИСО электрическими зарядами и является потенциаль­ным (обладает нулевой циркуляцией). Магнитостатическое поле порождается только токами и всегда является непотенциальным (вихревым). Электростатическое поле, имея своими источниками заряды, имеет начало своих сило­вых линий на положительных зарядах и конец - на отрицательных зарядах (или в бесконечности). Магнитное же поле не имеет таких источников, поскольку магнитных монополей до сих пор не обнаружено, и потому его силовые линии даже в статическом состоянии являются замкнутыми, не имея ни начала, ни конца.

В динамическом же, нестационарном состоянии, когда источники полей и сами, порождаемые ими поля, становятся изменяющимися во времени, выявляется новая принципиа­льная особенность электриче­ского и магнитного нестационарных полей. Выясняется, что в этом состоянии они приобретают способность порождать друг друга, становиться источниками друг друга. В результате возни­кает новое нераз­рывно взаимосвязанное состояние единого электромагнитного поля. Первое урав­нение Максвелла, как уже говорилось, указывает на то, что изме­няющееся во времени магнитное поле, порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Второе же уравнение Максвелла говорит о том, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным во времени электрическим полем. В итоге мы можем заключить, что переменные (нестацио­нарные) электрическое и магнитное поля являются взаимными источниками друг друга, и их различие во многом относительно. В нестационарном состоя­нии они способны существовать совершенно само­стоятельно от источников (пе­ременных токов), их породивших, в виде единого неразрывного элек­тромагнитно­го поля.

Последние два уравнения Максвелла указывают на разный характер симметрии электриче­ского и магнитного стационарных полей.

Для решения основной задачи электродинамики, уравнения Максвелла, выра­жающие её основную идею (связь характеристик поля с характеристиками его источников), должны быть дополнены так называемыми материальными уравнения­ми , связывающими характеристики поля с характеристиками вещественной среды. Этими уравнениями являются следующие:

E о e; = m о m и = g, где e и m - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а g - удельная электропроводность среды.

Уравнения Максвелла часто записывают в более компактной - дифференциа­льной форме, которая получается из интегральной формы путём предельного перехода контуров и поверхностей интегрирования к нулю: S ® 0 и L ® 0.

Введем векторный оператор , называемый "набла" и обозначаемый Ñ , как век­тор со следую­щими компонентами: Ñ = (¶/¶х, ¶/¶у, ¶/¶z).

Для любого векторного поля () = (А х, А у, А z) важными являются следующие совокупно­сти дифференциальных операций:

а) скалярная, называемая дивергенцией :Ñ= diu = ¶А х /¶х + ¶А у /¶у + ¶А z /¶z

б) векторная, называемая ротором :

Ñ = rot = (¶А у /¶ z - ¶А я /¶ у) + (¶А z /¶х - ¶А х /¶ z) + (¶А у /¶ Х - ¶А Х /¶ У)

В этих обозначениях уравнения Максвелла в дифференциальной форме, примут следующий вид:

rot= - ¶/¶t ; rot = + ¶/¶t; diu = r; diu = 0

или Ñ = - ¶/¶t ; Ñ = + ¶/¶t; Ñ = r; Ñ = 0

В уравнения Максвелла входят только свободные заряды r и токи проводи­мости . Связан­ные заряды и молекулярные токи входят в эти уравнения неявно - через характеристики среды – диэлектрическую и магнитную проницаемости e и m.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы о циркуляции воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Стокса, связывающей циркуляцию вектора с поверхностным интегралом от ротора этого вектора:

гдеS – поверхность, ограниченная контуром L. Под ротором вектора понимают векторный дифференциальный оператор, задаваемый следующим образом:

rot = (¶Е у /¶z - ¶Е z /¶у) + (¶Е z /¶х - ¶Е х /¶z) + (¶Е x /¶y - ¶Е y /¶x)

Физический смысл ротора вскрывают, устремляя поверхность S к нулю. В пределах достаточно малой поверх­ности ротор вектора можно считать постоянным и вынести за знак интеграла:

= rot× = rot×S.

Тогда, согласно теореме Стокса:rot = (1/S)при S ® 0.

Отсюда ротор вектора можно определить как поверхност­ную плотность циркуляции этого вектора.

Так как в ЭСП циркуляция вектора равна нулю, то равен нулю и ротор вектора :

Это уравнение и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора в ЭСП.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы Остроградского – Гаусса воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Гаусса, связывающей поток вектора по замкнутой поверхности с интегралом от дивер­генции этого вектора по объему, заключенному в этой поверхности:

Под дивергенцией вектора понимают скалярный дифференциальный оператор (совокупность производных), задаваемый следующим образом:

div = ¶Е х /¶х + ¶Е у /¶у + ¶Е z /¶z.

Физический смысл дивергенции вскрывают, устремляя объем V к нулю. В пределах достаточно малого объема дивергенцию вектора можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:

= div× = (1/V) div . Тогда, согласно теореме Гаусса,

div = (1/V)при V ® 0.

Отсюда дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока этого вектора.

Соотнося теорему Остроградского – Гаусса = q å /e о = (1/e о) и теорему Гаусса = , видим, что левые их части равны друг другу. Приравнивая их правые части, получаем:

Это уравнение и представляет собой дифференциальную форму теоремы Остроградского – Гаусса.

Лекция 14. Электромагнитные волны. Объяснение возникновения электромагнит­ных волн с позиций уравнений Максвелла. Уравнение бегущей электромагнитной волны. Волно­вое уравнение. Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Умова - Пойнтинга. Излучение диполя.

Электромагнитные волны представляют собой распространяющиеся в простра­нстве взаимо­связанные колебания электрического и магнитного полей. В отли­чие от звуковых (акустических) волн, электромагнитные волны могут распро­страняться в вакууме.

Качественно механизм возникновения свободного (от источников в виде электрических зарядов и токов) электромагнитного поля может быть пояснён на основе анализа физической сущности уравнений Максвелла. Два фундамента­льных эффекта, отображаемых уравнениями Максвелла - электромагнитная инду­кция (порождение переменным магнитным полем переменного вихревого электри­ческого поля) и магни­тоэлектрическая индукция (порождение переменным элек­трическим полем переменного магнит­ного поля) приводят к возможности эле­ктрического и магнитного переменных полей быть взаимными источниками друг друга. Взаимосвязанное изменение электрического и магнитного полей и пре­дставляет собой единое электромагнитное поле, которое способно в вакууме распро­страняться со скоростью света
с = 3×10 8 м/с. Это поле, способное существовать совершенно незави­симо от зарядов и токов и вообще от вещества и представляет собой второй (на­ряду с веществом) - полевой вид (форму) существования материи.

В опыте электромагнитные волны были обнаружены в 1886 г Г. Герцем, спустя 10 лет после смерти, предсказавшего теоретически их существование Максвелла. Из уравнений Максвелла в непроводящей среде, где r = 0 и = 0, взяв операцию ротора от первого уравнения и подставив в него выражение для rot из второго уравнения, получим:

rot= - ¶/¶t = - m о m¶/¶t; rot rot= -m о m¶/¶t(rot) = - m о me о e¶ 2 /¶t 2 = - (1/u 2)¶Е 2 /¶t 2 rot = ¶/¶t = e о e ¶/¶t;

Из векторного анализа известно, что rot rot = grad div– D, но grad divº 0 и тогда

D= 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 , где D = ¶ 2 /¶х 2 + ¶ 2 /¶у 2 + ¶ 2 /¶z 2 - оператор Лапласа - сумма вторых частных производных по пространственным координатам.

В одномерном случае получаем дифференциальное уравнение в частных производных, называемое волновым :

¶ 2 /¶х 2 - 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 = 0

Такого же типа уравнение получается и для индукции магнитного поля. Его решением является бе­гущая плоская монохроматическая волна, задавемая уравнением:

Cos (wt – kх + j) и =cos (wt – kх + j) , где w/k = u = 1/Ö(m о me о e) - фазовая скорость волны.

Векторы и изменяются синфазно во времени, но во взаимно перпенди­кулярных плоскостях и перпендикулярно направлению распространения (скорости волны): ^ , ^ , ^ .

Свойство взаимоперпендикулярности векторов и и и позволяет отнести электромагнит­ную волну к поперечным волнам .

В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света u = с = 1/Ö(e о m о) = 3×10 8 м/с, а в вещественной среде волна замедляется, ее скорость убывает в Ö(em) раз, то есть u = с/Ö(em) = 1/Ö(e о m о em).

В каждой точке пространства значения векторов и пропорциональны друг другу. Отношение напряжённостей электрического и магнитного полей определяется электрическими и магнитными свойствами (проницаемостями e и m) среды. Это выражение связано с равенством объемных плотностей энергий w э и w м электрического и магнитного полей волны:

w э = e о eЕ 2 /2 = w м = m о mН 2 /2 Þ Е/Н = Ö(m о m/e о e).

Отношение Е/Н, как нетруд­но видеть, имеет размерность сопротивления: В/м: А/м = В/А = Ом. Применительно к вакууму, например, Е/Н = Ö(m о /e о) = 377 Ом - называется волновым сопро­тивлением вакуума. Отношение же Е/В = 1¤Ö(e о m о) = с = 3×10 8 м/с (в вакууме).

Распространя­ющиеся в пространстве электромагнитные колебания (электромагнитные волны) переносят энергию без переноса вещества - энергию электрического и магнит­ного полей. Ранее мы получали выражения для объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

w э = e о eЕ 2 /2 и w м = m о mН 2 ¤2 [Дж /м 3 ].

Основной характеристикой переноса энергии волной является вектор пло­тности потока энергии, называемый (применительно к электромагнитным волнам) вектором Пойнтинга , численно равный энергии, переносимой через единицу пло­щади поверхности нормальной к направлению распространения волны, за единицу времени : = Дж/м 2 с = Вт/м 2 .

За единицу времени через единичную площадку пройдёт вся та энергия, ко­торая содержится в объеме V параллелепипеда (цилиндра) с основанием в 1 м 2 и высотой равной скорости u распростра­нения волны, то есть пути, проходимому волной за единицу времени:

S = wV = wu = (w э + w м)¤Ö(e о m о em) = e о eЕ 2 ¤2Ö(e о m о em) + m о mН 2 ¤2Ö(e о m о em) = [Ö(e о e ¤m о m)]Е 2 /2 + [Ö(m о m ¤e о e)] Н 2 /2.

Так как Е/Н = Ö(m о m/e о e), то S = ЕН/2 + НЕ/2 = ЕН.

В векторной форме вектор Пойнтинга выразится как произведение векторов напряженностей электрического и магнитного полей: = = w.

Простейшим излучателем электромагнитных волн служит электрический диполь, момент которого изменяется с течением времени. Если изменения электри­ческого момента носят повто­ряющийся, периодический характер, то такой "ко­леблющийся диполь" называется осциллятором или элементарным вибратором. Он представляет собой простейшую (элементарную) модель излу­чательной сис­темы в электродинамике. Любой электронейтральный излучатель с размерами L << l в так называемой волновой или дальней зоне (при r >> l) имеет та­кое же поле (характер распреде­ления в пространстве) излучения, как и ос­циллятор с равным дипольным моментом.

Осциллятор называют линейным или гармони- ческим, если у него дипольный момент изменяется по гармониче­скому закону: Р = Р м sin wt; Р м = ql .

Как показывает теория излучения, мгновенная мощность N излучения элек­тромагнитных волн гармони­ческим осциллятором пропорциональна квадрату вто­рой производной изменения его дипольного момента, то есть:

N ~ ïd 2 Р/dt 2 ï 2 ; N = m о ïd 2 Р/dt 2 ï 2 /6pс = m о w 4 Р м 2 sin 2 wt/6pс.

Средняя мощноcть < N > излучения диполя за период колебаний равна:

< N > = (1/Т)N dt = m о w 4 Р м 2 /12pс

Обращает на себя внимание четвертая степень частоты в формуле для мощности излучения. Во многом поэтому для передачи радио- и телеинформации используются высокочастотные несущие сигналы.

Диполь излучает неодинаково в различных направлениях. В волновой (дальней) зоне интен­сивность J излучения диполя: J ~ sin 2 q ¤r 2 , где q - угол между осью диполя и направлением излу­чения. Зависимость J (q) при фиксированном r называется полярной диаграммой направленности излучения диполя. Она имеет вид восьмёрки. Из неё видно, что диполь сильнее всего излучает в направлении q = p/2, то есть в плоскости перпендикулярной оси диполя. Вдоль собственной оси, то есть при q = 0 или q = p, диполь совершенно не излучает электромагнитные волны.

Уравнение бегущей монохроматической волны Е = Е м cos (wt – kх + j) является идеализа­цией реального волнового процесса. В действительности ему должна соответствовать бесконечная во времени и пространстве последовате­льность горбов и впадин, перемещающаяся в положитель­ном направлении оси х со скоростью u = w/k. Эта скорость называется фазовой, ибо представляет собой быстроту перемещения в пространстве эквифазовой поверхности (поверх­ности постоянной фазы). Действительно, уравнение эквифазовой поверхности имеет вид: Ф = (wt – kх + j) = const или, иначе, dФ = 0, то есть wdt - kdх = 0, откуда dх/dt = u = w/k.

Реальные волновые процессы ограничены во времени, то есть имеют начало и конец, и у них меняется амплитуда. Их аналитическое выражение может быть представлено в виде набора, группы, пакета волн (монохроматических):

Е =Е м w cos (wt – k w х + j w)dw

с близкими частотами, лежащими в узком интервале от w - Dw/2 до w + Dw/2, где Dw << w и близ­кими (не сильно различающимися) спектральными плотностями амплитуды Е м w , волновыми числами k w и начальными фазами j w .

При распространении в вакууме волны любой частоты имеют одинаковую фазовую ско­рость u = с = 1¤Ö(e о m о) = 3×10 8 м/с, равную скорости света. В вещественной среде за счёт взаимодействия электромагнитной волны с заряженными частицами (электронами прежде всего) скорость распространения волн начинает зависеть от свойств среды, её диэлектрической, и магнитной проницаемостей, согласно формуле: u = 1/Ö(e о m о em).

Диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества оказываются зави­сящими от частоты (длины) электромагнитной волны, а, следо­вательно, и фазовая скорость распро­странения волны в веществе оказывается разной для разных её частот (длин волн). Этот эффект называется дисперсией электромагнитных волн, а среды называют диспергирующими. Веществен­ная среда может быть не диспергирующей лишь в некотором, не очень широком диапазоне частот. Совершенно не диспергирующей средой является лишь вакуум.

При распространении в диспергирующей среде волнового пакета , составляю­щие его волны с различающимися частотами будут обладать различными скорос­тями и с течением времени будут "разъезжаться" друг относительно друга. Волновой пакет будет в такой среде постепенно расплываться, рассеиваться, что и отражается термином "дисперсия".

Для характеристики скорости распространения волнового пакета как це­лого принимают скорость распространения его максимума - центра пакета волн с наибольшей амплитудой. Эту скорость называют групповой и, в отличие от фазовой скорости u = w/k, она определяется не через отношение w/k, а через производную u = dw/dk.

Естественно, что в вакууме, то есть в отсутствие дисперсии, фазовая ско­рость (быстрота переме­щения эквифазовой поверхности) и групповая (быстрота переноса энергии волной) совпа­дают и равны скорости света. Понятие групповой скорости, определяемое через производную (быстроту изменения угловой часто­ты с ростом волнового числа) применимо только для несильно дисперги­рующих сред, где не очень сильное поглощение электромагнитных волн. Получим фор­мулу взаи­мосвязи групповой и фазовой скоростей:

u = dw/dk = u - (kl/k)×du/dl = u - l×du/dl.

В зависимости от знака производной du/dl, групповая скорость u = u - l×du/dl может быть как меньше, так и больше фазовой скорости u электромагнитной волны в среде.

В отсутствие дисперсии du/dl = 0, и групповая скорость равна фазовой. При положительной производной du/dl > 0, групповая скорость меньше фазовой, имеем случай, называемый нормаль­ной дисперсией . При du/dl < 0, групповая скорость волн больше фазовой: u > u, этот слу­чай дисперсии называют аномальной дисперсией.

Причины и механизм явления дисперсии просто и наглядно можно проиллюстри­ровать на примере прохождения электромагнитной волны через диэлектрическую среду. В ней переменное электрическое поле взаимодействует со связанными в атомах вещества внешними электронами. Напряжённость электрического поля электромагнитной волны играет для электрона роль периоди­ческой вынуждающей силы, навязывающей ему вынужденное колебательное движение. Как мы уже ана­лизировали, амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты выну­ждающей силы, и в этом и кроются причины дисперсии электромагнитных волн в веществе и зави­симости диэлектрической проницаемости вещества от частоты электромагнитной волны.

При смещении электрона, связанного с атомом, на расстояние х от положения равновесия, атом прибретает дипольный момент р = q е х, а образец в целом - есть макродиполь с поляризованностью Р = nр = nq е x, где n - число атомов в единице объёма, q е – заряд электрона.

Из связи векторов и можно выразить диэлектрическую восприимчивость a, проницаемость e, а затем скорость u электромагнитной волны в веществе:

Р = e о aЕ = nq е х Þ a = nq е х/e о Е; e = 1 + a = 1 + nq е х/e о Е; u = с/Ö(em) » с/Öe (при m » 1). Для небольших х: u = с/Ö(1 + nq е х/e о Е) » с/(1 + nq е х/2e о Е).

Отталкиваясь от второго закона Ньютона для упруго связанного с атомом электрона, находящегося в возмущающем электрическом поле Е = Е м cos wt электромаг­нитной волны, найдём его смещение х от положения равновесия в атоме. Полагаем, что смещение х электрона изменяется по закону вынуждающей силы, то есть х = Х м соs wt.

ma = - kх – ru + F вын; mх ¢¢ = - kх – rх ¢ + q е Е, или, при r = 0 Þ х ¢¢ + w о 2 х = q е Е м cos wt/m,

где w о 2 = k/m – собственная частота колебаний электрона, упруго связанного с атомом.

Подставляем решение х = Х м соs wt в полученное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний электрона:

W 2 х + w о 2 х = q е Е м cos wt/m Þ х = q е Е м cos wt/ = q е Е/

Подставляем полученное выражение для смещения х в формулу для фазовой скорости электромагнитной волны:

u » с/(1 + nq е х/2e о Е) = с/

На частоте w = w о фазовая скорость u электромагнитной волны обращается в ноль.

На некоторой частоте w р, при которой nq е 2 /me о (w о 2 - w р 2) = - 1, фазовая скорость волны претерпевает разрыв. Значение этой «резонансной» частоты w р = w о + nq е 2 /me о » 10 17 с -1 .

Изобразим полученную зависимость фазовой скорости от частоты и от длины волны. Разрывный характер зависимости u(w), называемой дисперсионной, связан с тем, что мы пренебрегли сопротивлением среды и диссипа­цией энергии колебаний, положив коэффициент сопротивления r = 0. Учет трения приводит к сглаживанию дисперсионной кривой и устранению разрывов.

Так как частота w и длина волны l обратно пропорциональны (w = 2pn = 2pс/l), то график дисперсионной зависимости u(l) обратен графику u(w).

На участке нормальной дисперсии 1 - 2 фазовая скорость u больше скорости света в вакууме. Это не противоречит теории относительности, ибо реальный сигнал (информация, энергия) передаются с групповой скоростью u, которая здесь меньше скорости света.

Групповая скорость u = u - l×du/dl превышает скорость света с в вакууме на участке аномальной дисперсии 2 – 3, где фазовая скорость u убывает с ростом длины волны l и производная du/dl < 0. Но в области аномальной дисперсии имеет место сильное поглощение, и понятие групповой скорости становится неприменимым.

Лекция 16. Представления о пространстве и времени в современной физике. Объединение пространства со временем в СТО. Относительность классических понятий одновременности, длины и длительности.

В 1905 г А. Эйнштейн впервые оформил в теоретическую систему кинематические, т. е. простран­ственно-временные представления, «подсказанные» опытом анализа движений с большими, так называемыми релятивистскими (соизмери­мыми со скоростью света с = 3×10 8 м/с в вакууме) скоростями.

В механике Ньютона пространственно-временные представления специ­ально не выделялись и фактически считались очевидными, согласующимися с наглядным опытом медленных движений. Однако предпринятые в XIX в попытки объяснить исходя из этих представлений особенности распространения такого релятивистского объекта как свет, приводили к противоречию с опытом (опыт Майкельсона, 1881 г, 1887 г. и др.). Анализируя возникшую проблемную ситуацию, А. Эйнш­тейн сумел в 1905 г сформулировать два основополагающих утверждения, на­зываемых постулатами (принципами), согласующихся с опытом релятивистских (высокоскоростных) движений. Эти утверждения, получившие название посту­латов Эйнштейна, составили основу его специальной (частной) теории отно­сительности.

1. Принцип относительности Эйнштейна: все законы физики инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета (ИСО), т. е. в любых ИСО законы физики имеют одинаковый вид, не зависят от произвола субъекта (ученого) в выборе ИСО. Или, иначе - все ИСО равноправны, отсутствует какая-либо привилегированная, избранная, абсолютная ИСО. Или, еще - никакими физи­ческими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя определить, движется она с постоянной скоростью или покоится. Этот принцип согласуется с принципом объективности познания.

До Эйнштейна в механике был известен принцип относительности Галилея, который был ограничен рамками только механических явлений и законов. Эйнштейн фактически обобщил его на любые физические явления и законы.

2. Принцип инвариантности (постоянства) и предельности скорости света. Скорость света в вакууме конечна, одинакова во всех ИСО, т. е. не зависит от относительного движения источ­ника и приемника света и является преде­льной скоростью передачи взаимодействий. Этот принцип закреплял в физике концепцию близкодействия, сменившую господствовавшую ранее концепцию дальнодействия, основывающуюся на гипотезе о мгновенности передачи взаимо­действий.

Из двух принципов (постулатов) Эйнштейна вытекают важнейшие для кинематики, более общие, чем классические (галилеевские) преобразования, то есть фор­мулы взаимосвязи пространственных и временной координат x, y, z, t одного и того же события, наблюдаемого из разных ИСО.

Возьмем частный случай выбора двух ИСО, при котором одна из них, обозначае­мая (К), дви­жется относительно дру­гой, обозначаемой (К ¢), со скоростью V вдоль оси х. В начальный момент времени начала координат О и О ¢ обеих ИСО сов­падали, и оси Y и Y ¢ , а также Z и Z ¢ , тоже совпа­дали. Для этого случая формулы преобразова­ния пространственно-временных координат одного и того же события при переходе от одной ИСО к другой, назы­ваемые преобразованиями Лоренца, имеют следующий вид:

х ¢ = (х - Vt)/Ö(1 - V 2 /с 2); у ¢ = у; z ¢ = z; t ¢ = (t - Vх/с 2)/Ö(1 - V 2 /с 2) -

Прямые преобразования Лоренца (из ИСО (К) в ИСО (К ¢);

х = (х ¢ + Vt ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2); у = у ¢ ; z = z ¢ ; t = (t ¢ + Vх ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2) -

Обратные преобразования Лоренца (из ИСО (К ¢) в ИСО (К).

Преобразования Лоренца являются более общими, по сравнению с преобразованиями Галилея, которые они содержат в себе как частный, предельный случай, справедливый при малых, дорелятивистских скоростях (u << с и V << с) движений тел и ИСО. При таких, «клас­сических» скоростях, Ö(1 – V 2 /с 2) » 1, и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:
х ¢ = х - Vt; у ¢ = у; z ¢ = z; t ¢ = t и х = х ¢ + Vt ¢ ; у = у ¢ ; z = z ¢ ; t = t ¢

В таком соотношении формул преобразования Лоренца и Галилея находит свое проявле­ние важный методологический принцип научно-теоретического познания - принцип соответст­вия. Согласно принципу соответствия, научные теории диалектически развиваются по пути ступенчатого обобщения - расширения своей предметной области. При этом более общая теория не от­меняет прежнюю, частную, а лишь вскрывает ее ограниченность, очерчивает границы и пределы ее справедливости и применимости, и сама сводится к ней в области этих границ.

Термин "специальная" в названии теории относительности Эйнштейна озна­чает как раз, что она сама является ограниченной (частной) по отношению к другой, тоже созданной А. Эйнштейном теории, получавшей название "общая теория относительности". Она обобщает специальную теорию относительности на любые, не только инерциальные системы отсчета.

Из преобразований Лоренца вытекает ряд кинематических следствий, про­тиворечащих наглядным классическим представлениям и давшим основание назвать релятивистскую кине­матику и релятивистскую механику в целом теорией относительности.

Что же относительно, то есть, зависимо от выбора ИСО в СТО? Прежде всего, относи­тельным оказывается факт одновременности двух событий, а также длина тела и длительность процесса. В релятивистской динамике в разряд относительных переходит сила, а у некоторых ученых и масса. Следует, однако, помнить, что главным в любой теории является не относительное, а инвариантное (устойчивое, сох­раняющееся, неизменное). Релятивистская механика, вскрывая относительность одних понятий и величин, заменяет их другими инвари­антными величинами, такими, например, как комбинация (тензор) энергии-импульса.

1. Относительность одновременности собы­тий.

Пусть в ИСО (К) происходят два события, зада­ваемые координатами x 1, y 1, z 1 , t 1 и x 2, y 2, z 2 , t 2 , причем t 1 = t 2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одно­временно.

Громадной заслугой Эйнштейна явилось привлечение внимания к тому, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определе­но, как фиксиро­вать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, пред­полагающим бесконечной скорость распро­странения взаимодействий (что дос­таточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что раз­несенность событий в пространстве не может влиять на характер их времен­ного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления фак­та одновремен­ности разноместных событий, основанный на размещении в этих местах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент t о, они покажут время t х = t о + х/c.

Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим предельно высо­кой, но не бесконечной скоростью, то часы, синхро­низи­ро­ванные в одной ИСО, окажутся разсинхрони­зиро­ванными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и относительность временных и пространственных интерва­лов (длительностей и длин).

Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца:
в ИСО (К ¢) событию 1 соответствует момент времени t 1 ¢ = (t 1 - Vх 1 /с 2)/Ö(1 - V 2 /с 2), а событию 2 ® момент t 2 ¢ = (t 2 – Vх 2 /с 2)/Ö(1 – V 2 /с 2), так, что при t 1 = t 2 , t 2 ¢ – t 1 ¢ = [(х 1 – х 2)V/с 2 ]/Ö(1 – V 2 /с 2), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К ¢).

В классическом (дорелятивистском) пределе, при V << с, t 2 ¢ – t 1 ¢ » 0, факт одновременно­сти двух событий становится аб­солютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с ® ¥ или с >> V.

В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолют­ной лишь
в частном случае одноместных событий: при х 1 = х 2 всегда при t 1 = t 2 и t 1 ¢ = t 2 ¢ .

2. Относительность длины тел (пространственных интервалов).

Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной l о = х 2 – х 1 .

ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственны­ми.

В ИСО (К ¢), относительно которой стержень движется, и которая называется лаборатор­ной ИСО, длина стержня l ¢ = х 2 ¢ - х 1 ¢ определяется как разность координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t 1 ¢ = t 2 ¢ .

Используя формулы преобразований Лоренца для х 1 и х 2 , содержащие время в штрихованной ИСО (К ¢), установим взаимосвязь l и l ¢ :

х 1 = (х 1 ¢ + Vt 1 ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2); х 2 = (х 2 ¢ + Vt 2 ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2); Þ х 2 - х 1 = (х 2 ¢ - х 1 ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2)

или окончательно: l ¢ = l о Ö(1 - V 2 /с 2) – эта формула выражает закон прео­бразования длин
(пространственных интервалов), согласно которому в на­правлении перемещения размеры тел сокращаются. Этот эффект относитель­ности длины тел, их релятивистского сокращения в направлении перемещения, является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамичес­ким, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным с выбранным способом определения (измерения) длины и конечно­стью скорости распростране­ния взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчета (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).

Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естест­венно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медлен­ных движений) он и не обращал на себя внимания.

Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотно­шения между длительностями двух процессов, измеряемыми из разных ИСО, одна из которых является собст­венной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разностьмоментов конца и начала процесса)  о одними и теми же часами, приводит к следующим результатам:

  =  о (1 - V 2 с 2), где  о - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а   - длительность того же процесса, от­считываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.

Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных, и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокра­щения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процес­са часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости пред­ставляет собой опыт с мю-мезонами, нестабильными частицами, образую­щимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих ее космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть до­лететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.

Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчетах соб­ственное время жизни -мезонов  о = 210 -6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть
l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый -мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращенной", "укороченной" соответственно множителю (l –V 2 /с 2). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрас­тает пропорционально 1/(l–V 2 /с 2). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами в реальном эксперименте и явлении природы.

При малых скоростях V  с релятивистская формула преобразо­вания длительностей процессов переходит в классическую     . Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет реля­тивистскую относительность и становится абсолютной, т. е. не зависящей от выбора ИСО.

Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х  , t и t  , в формулах преобра­зований Лоренца и, поделив dх на dt и dх  на dt  , то есть, образовав из них скорости
 х = dх/dt и  х  = dх  /dt  .

dх = (dх  + Vdt )/(l –V 2 /с 2); dt = (dt  + Vdх  /с 2)/(l –V 2 /с 2); 

dх/dt = (dх  + Vdt )/(dt  + Vdх  /с 2) = (dх  /dt  + V)/   х = ( х  + V)(1 + V х  /с 2)

dх  = (dх - Vdt)/(l –V 2 /с 2); dt  = (dt - Vdх/с 2)/(l –V 2 /с 2); 

dх  /dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с 2) = (dх/dt - V)/   х  = ( х - V)(1 - V х /с 2)

Формулы  х = ( х  + V)(1 + V х  /с 2) и  х  = ( х - V)(1 - V х /с 2) и выражают собой
реля­тивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей
при пере­ходе от ИСО (К) к ИСО (К ) и наоборот.

В дорелятивистском пределе малых скоростей   c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложе­ния скоростей:  х =  х  + V и  х  =  х – V.

Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К ) имеем скорость  х  = с и ИСО (К ) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по пре­жнему равна с:

 х = ( х  + V)(1 + V х  /с 2) = (с + с)(1 + сс/с 2) = с. Классический же закон сложения приводил к результату:  х =  х  + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал
в себе ограничений на "потолок" скоростей.

Скачать с Depositfiles

3.2.6 Дисперсия электромагнитных волн. Показатель преломления воздуха

(Параграф не доработан. Материал изучить самостоятельно. См указание ниже)

Монохроматические волны с различными частотами (длинами волн) распространяются в среде, строго говоря, с различной скоростью. Зависимость скорости электромагнитных волн от частоты называется дисперсией .

Скорость электромагнитных волн в реальной среде связана со скоростью света в вакууме через одну из важнейших характеристик среды — показатель преломления :

(3.30)

Показетель преломления в электродинамике определяется из соотношения

(3.31)

где — диэлектрическая проницаемость среды;

— магнитная проницаемость среды.

На основании вышесказанного можно сказать, что дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны

(4.30)

Для радиоволн нижний слой атмосферы, примерно до 11 км, является недиспергирующей средой. Для оптического и УКВ диапазона атмосфера является диспергирующей средой.

Для большинства прозрачных веществ показатель преломления возрастает с увеличением длины волны . Такой характер дисперсии называют нормальным .

Зависимость от в области нормальной дисперсии описывается формулой Коши

(4.31)

где , , — постоянные коэффициенты, которые для каждого вещества находят экспериментально.

Если вещество поглощает часть светового потока, то в области поглощения может наблюдаться аномальная дисперсия, т.е. уменьшение показателя преломления с уменьшением длины волны.

В прозрачных средах в результате изменения направления распространения света при преломлении дисперсия света приводит к разложению света в спектр. Опыт показывает, что если луч белого света пропустить через преломляющую призму – прозрачное тело, ограниченное плоскими пересекающимися поверхностями, то на экране за призмой получим цветную полосу в следующей последовательности цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

Характер дисперсии для различных прозрачных сред, в том числе и разных сортов стекла, различен.

Для волн ультракороткого и светового диапазонов показатель преломления зависит от метеорологических параметров атмосферы: температуры t , давления P и влажности воздуха e . В сочетании с вышеотмеченной зависимостью показателя преломления от длины волны или частоты , в общем виде зависимость показателя преломления от указанных параметров может быть записана как

. (4.31)

В связи с этим для определения показателя преломления или, что то же самое, скорости распространения электромагнитной волны с длиной волны , необходимо определять температуру, давление и влажность воздуха. Последний параметр оказывает влияние на скорость распространения ЭМВ оптического диапазона в гораздо меньшей степени, чем температура и давление. Поэтому основными определяемыми параметрами для дальномеров, работающих на волнах оптического диапазона, являются только температура и давление.

Во всех современных дальномерах предусмотрен ввод поправки за атмосферные параметры. Формулы, по которым вычисляется указанная поправка, зашиты в программное обеспечение приборов.

(На самостоятельное изучение: Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электрооптические измерения. – М.: Недра, 1985. – 303 с. — Параграф 8. Скорость распространения электромагнитных волн. Стр. 68-78).

Список литературы

1. Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электрооптические измерения. – М.: Недра, 1985. – 303 с.

2. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. – М.: Изд. Физ.-мат. лит-ры. 1959. – 572 с.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Том 3. Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика. – М.: Высшая школа. 1979. – 511 с.

4. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. III .. Оптика. Физика атомов и молекул. Физика атомного ядра и микрочастиц – М.: Наука. 1970 – 495 с.

5. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том III . Колебания, волны. Оптика. Строение атома. – М.: Наука. 1970 – 640 с.

6. Шредер Г., Трайбер Х. Техническая оптика. – М.: Техносфера,2006. – 424 с.

В оптике хорошо известно явление дисперсии света, т. е. зависимость скорости распространения света в среде от его частоты Так как [см. (38.4)]

то показатель преломления среды также зависит от частоты. Подобная зависимость наблюдается не только в оптическом диапазоне, но и для электромагнитных волн любых других частот. Первое удовлетворительное объяснение явления дисперсии и одновременно поглощения электромагнитных волн в средах было дано в рамках электронной теории Лоренца.

Очевидно, что явление дисперсии в первую очередь связано с влиянием электромагнитного поля распространяющейся в среде волны на дипольные моменты молекул: Для упрощения примем, что молекулы достаточно массивны, а частота достаточно велика, поэтому можно пренебречь изменением со временем. Таким образом, будем учитывать лишь индуцированный дипольный момент

В качестве модели молекулы рассмотрим отдельный электрон с зарядом и массой те, смещенный на относительно положительно заряженного остова. Если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, т. е. то в выражении для силы Лоренца можно пренебречь вкладом магнитной индукции В волны, поскольку В Принимая еще, что электрон удерживается в молекуле квазиупругой силой - и учитывая силу реакции излучения, запишем уравнение движения электрона в виде

Решение этого уравнения можно использовать для вычисления полной плотности тока в среде, если предположить, что основной вклад в нее дают электроны. В частности, считая среду однородной с электронной концентрацией имеем

Запишем теперь усредненные уравнения Максвелла-Лоренца (57.6):

Учитывая, что, по закону сохранения заряда,

Поляризованность, запишем уравнения Максвелла в виде

Для нахождения поляризованности воспользуемся уравнениями (61.1) и (61.2). Именно: рассматривая лишь установившееся движение электрона, т. е. полагая

и считая, что напряженность мало меняется в пределах молекулы, из (61.2) выводим

Наконец, принимая напряженность действующего поля равной

и учитывая (61.6) и (61.7), находим из (61.1)

Здесь где у - коэффициент лучистого трения; собственная частота колебаний электрона в изолированном атоме; собственная частота электронных колебаний в атоме в среде (т. е. измененная под влиянием полей окружающих атомов); плазменная частота, соответствующая колебаниям свободных электронов в квазинейтральной среде (плазменные или ленг-мюровские колебания).

(см. скан)

Имея выражение (61.8) для поляризованности, нетрудно найти и вектор электрической индукции:

где введена комплексная диэлектрическая проницаемость

Здесь уместно заметить, что у в (61.10) можно считать коэффициентом лучистого трения только в предположении, что столкновения молекул друг с другом и со свободными электронами маловероятны. В самом деле, в результате столкновений часть энергии электронов переходит в энергию движения самих молекул, т. е. в теплоту. Эти потери энергии электронами необходимо добавить к чисто электромагнитным потерям на излучение. Феноменологически это делается добавлением к у некоторой не зависящей от части.

Полученное выше выражение для характерно для однорезонансной осцилляторной модели вещества, в которой предполагается, что собственные частоты всех электронов одинаковы и равны На самом же деле это не так, тем более что нужно учитывать еще и колебания ионов, собственные частоты которых обычно лежат в инфракрасной области. Для того чтобы учесть все электронные частоты, обычно вводят функцию распределения дисперсионных электронов по частотам Нормируя ее на единицу, т. е. полагая

Можно интерпретировать как концентрацию электронов, собственные частоты которых лежат в интервале В таком случае выражение (61.10) принимает вид

Интересно, что такое же выражение получается и в квантовой теории, где называется силой осциллятора.

Каков физический смысл комплексной диэлектрической проницаемости? Для выяснения этого выделим действительную и мнимую части Тогда

Из (61.12) следует, что является четной, а - нечетной функциями частоты:

и, кроме того, справедливо неравенство

Как было показано еще в § 50, связано с тепловыми потерями. Для того чтобы убедиться, что это действительно так и что тепловые потери пропорциональны явно положительному значению подсчитаем среднюю за период мощность силы «трения» действующей на отдельный электрон:

Выделяемая тепловая мощность получается умножением этого выражения на концентрацию электронов и интегрированием по

Учитывая выражения для вытекающие из (61.7) и (61.8), получаем

Сравнивая (61.15) с выражением для джоулевых потерь

приходим к выводу, что электропроводимость среды и связаны между собой:

В частности, для металлов, в которых основной вклад в проводимость дают свободные электроны с имеем

Это соотношение называется формулой Друде - Зинера и выражает зависимость электропроводимости металлов от частоты.

Заметим, что с помощью (61.16) выражение для в приводится к виду

откуда следует, что для металлов в статическом пределе в имеет полюсную особенность типа

где а - статическая электропроводимость.

Особый интерес представляет структура в для плазмы, в которой основную роль играют свободные электроны с т. е. можно положить согласно (61.11),

Очевидно, что такое поведение диэлектрической проницаемости характерно для любой среды в пределе чрезвычайно высоких частот, поскольку при все электроны можно считать свободными. Если в (61.20) пренебречь потерями, т. е. положить то получим

Изучим теперь распространение электромагнитных волн в диспергирующей среде. Начнем с самых простых плоских монохроматических волн, т. е. положим в уравнениях (61.4)

где постоянные векторы. Тогда с учетом (61.9) имеем:

Исключая из этих уравнений приходим к волновому уравнению

которое допускает два типа решений, соответствующих поперечным и продольным волнам.

Поперечные волны удовлетворяют условию т. е. векторы к образуют правую ортогональную тройку (рис. 61.1). В этом случае из волнового уравнения (61.23) выводим, что

т. е. волновой вектор к является комплексным. Считая, что волна распространяется вдоль оси т.е. полагая имеем

комплексный показатель преломления.

Для выяснения физического смысла рассмотрим плоскую электромагнитную волну:

где длина волны в вакууме. Отсюда следует, что определяет затухание амплитуды волны на расстоянии порядка длины волны и поэтому называется коэффициентом поглощения. Что же касается то это обычный показатель преломления, определяющий скорость перемещения поверхности постоянной фазы т. е. фазовую скорость волны

Разделяя действительную и мнимую части в соотношении находим:

Зависимость в простейшем случае, когда вблизи частоты имеется лишь одна изолированная собственная частота и поэтому можно ограничиться однорезонансным приближением, дана на рис. 61.2 [ - кривая кривая 2]. Анализ зависимости показывает, что коэффициент у, обычно удовлетворяющий условию имеет смысл ширины линии поглощения.

В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдали от линии поглощения, когда и можно положить в однорезонансном приближении

Вспоминая, что и разрешая (61.29) относительно приходим к соотношению

(формула Лоренца - Лоренца). Она была выведена независимо друг от друга в 1869 г. датчанином Лоренцем, в 1873 г.- Дж. К. Максвеллом и в 1879 г.- Г. А. Лоренцем (результат

Максвелла остался при этом незамеченным). Согласно (61.30), при заданной частоте оказывается пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула Лоренца - Лоренца является обобщением соотношения Клаузиуса - Мосотти (58.26).

Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в среде - продольных. В этом случае поэтому из уравнений (61.22) следует, что

т. е. эти волны чисто электрические и могут существовать только для тех частот которые являются корнями уравнения

Если со достаточно велико, то в пренебрежении потерями можно воспользоваться упрощенным выражением (61.21), из которого следует, что Таким образом, в соответствии с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто называются волнами поляризации или волнами Бора, который впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной частицы, движущейся в среде.

(см. скан)

В реальных физических задачах часто приходится исследовать распространение в среде не только плоских электромагнитных волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей среде можно построить по аналогии с (39.11) и (39.13). Ограничившись поперечными волнами, имеем:

где решение дисперсионного уравнения (61.24).

Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т. е. примем, что функция имеет резко выраженный максимум в некоторой точке Для описания поведения такого волнового пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно

где усреднение производится по периоду

(см. скан)

Таким образом, практически для любого времени вычислять групповую скорость по формуле (61.36) можно только в прозрачной области, в которой В этом случае, дифференцируя по к соотношение (61.24), находим

Отсюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда групповая скорость не превосходит фазовую, т. е. Однако в области аномальной дисперсии, когда будет а так как при этом возможны значения то групповая скорость может превосходить скорость света. Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой пользоваться формулой (61.36) нельзя и выводы из нее неправомочны.

(см. скан)

Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно показать, что скорость фронта сигнала в любой среде равна скорости света в вакууме [теорема Т. Леви-Чивиты (1913)]. Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля бесконечно больших частот. Но, согласно (61.21), поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям поля как вакуум. Очевидно, что это связано с инертностью заряженных частиц.

Структура фронта сигнала в диспергирующей среде была подробно изучена А. Зоммерфельдом и Л. Бриллюэном в 1914 г. Они обнаружили, что в среде с поглощением в промежутке между фронтом и основной группой можно выделить две области с заметно повышенной интенсивностью поля. Бриллюэн назвал их первым и вторым предвестниками. Как и следовало ожидать, скорости их не превышают с, а скорость основной группы, или скорость сигнала, отличается от групповой скорости вычисленной по формуле (61.36), только в области поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной модели).

Интересное явление, связанное с влиянием вещества на электромагнитное поле, было обнаружено в 1934 г. советскими физиками П. А. Черенковым и С. И. Вавиловым. Они наблюдали узкий конус излучения, испускаемого быстрыми электронами в среде при условии, что их скорость превышала фазовую скорость света, т. е. при

В наши дни количественное знание электронной структуры атомов и молекул, а также построенных из них твердых тел базируется на экспериментальных исследованиях оптических спектров отражения, поглощения и пропускания и их квантовомеханической интерпретации. Весьма интенсивно изучается зонная структура и дефектность различных типов твердых тел (полупроводников, металлов, ионных и атомных кристаллов, аморфных материалов). Сопоставление полученных в ходе этих исследований данных с теоретическими расчетами позволило надежно определить для целого ряда веществ особенности строения энергетических зон и величины межзонных промежутков (ширины запрещенной зоны Е g) в окрестностях главных точек и направлений первой зоны Бриллюэна. Эти результаты позволяют, в свою очередь, надежно интерпретировать такие макроскопические свойства твердых тел, как электропроводность и ее температурная зависимость, показатель преломления и его дисперсия, цвет кристаллов, стекол, керамики, ситаллов и его вариация при радиационном и тепловом воздействиях.

2.4.2.1. Дисперсия электромагнитных волн, показатель преломления

Дисперсия есть явление взаимосвязи показателя преломления вещества, а, следовательно, и фазовой скорости распространения волн, с длиной волны (или частотой) излучения. Так, пропускание видимого света через стеклянную трехгранную призму сопровождается разложением в спектр, причем фиолетовая коротковолновая часть излучения отклоняется наиболее сильно (рис.2.4.2).

Дисперсия называется нормальной, если с ростом частоты n(w) показатель преломления n также возрастает dn/dn>0 (или dn/dl<0). Такой характер зависимости n от n наблюдается в тех областях спектра, где среда прозрачна для излучения. Например, силикатное стекло прозрачно для видимого света и обладает в этом интервале частот нормальной дисперсией.

Дисперсия называется аномальной, если с ростом частоты излучения показатель преломления среды уменьшается (dn/dn<0 или dn/dl>0). Аномальная дисперсия соответствует частотам, отвечающим полосам оптического поглощения, физическое содержание явления поглощения будет кратко рассмотрено ниже. Например, для натрийсиликатного стекла полосы поглощения соответствуют ультрафиолетовой и инфракрасной областям спектра, кварцевое стекло в ультрафиолетовой и видимой части спектра обладает нормальной дисперсией, а в инфракрасной - аномальной.

Рис. 2.4.2. Дисперсия света в стекле: а – разложение света стеклянной призмой, б – графики n = n(n) и n = n(l 0) для нормальной дисперсии, в – при наличии нормальной и аномальной дисперсии В видимой и инфракрасной части спектра нормальная дисперсия характерна для многих щелочно-галоидных кристаллов, что и обусловливает широкое их использование в оптических приборах для инфракрасной части спектра.

Физическая природа нормальной и аномальной дисперсии электромагнитных волн становится понятной, если рассмотреть это явление с позиций классической электронной теории. Рассмотрим простой случай нормального падения плоской электромагнитной волны оптического диапазона на плоскую границу однородного диэлектрика. Связанные с атомами электроны вещества под действием переменного поля волны напряженностью совершают вынужденные колебания с той же круговой частотой w, но с фазой j, отличающейся от фазы волн. С учетом возможного затухания волны в среде с собственной частотой колебании электронов w 0 , уравнение вынужденных поперечных колебаний в направлении - направлению распространения плоскополяризованной волны - имеет вид

(2.4.13)

известный из курса общей физики (q и m - заряд и масса электрона).

Для оптической области w 0 » 10 15 с -1 , а коэффициент затухания g может быть определен в идеальной среде при условии нерелятивистской скорости движения электрона (u<

(2.4.14)

При w 0 = 10 15 с -1 величина g » 10 7 с -1 . Пренебрегая сравнительно непродолжительной стадией неустановившихся колебаний, рассмотрим частное решение неоднородного уравнения (2.4.13) на стадии установившихся колебаний. Решение ищем в форме

(2.4.15)

Тогда из уравнения (2.4.13) получим

или , где амплитуда колебаний равна

(2.4.16)

здесь

Тогда решение для координаты (2.4.15) можно переписать в виде

(2.4.17)

Таким образом, вынужденные гармонические колебания электрона происходят с амплитудой A и опережают по фазе колебания в падающей волне на угол j. Вблизи резонансного значения w = w 0 зависимость A и j от w/w 0 представляет особый интерес.

На рис. 2.4.3 представлены графики зависимостей амплитуды и фазы вблизи резонансной частоты.

Рис. 2.4.3. Графики амплитуды (а) и фазы (б) колебаний электронов вблизи резонансной частоты (при g » 0,1w 0)

В реальных случаях обычно g меньше, чем g » 0,1 w 0 , выбранная для наглядности на рис.2.4.3, амплитуда и фаза меняются более резко. Если падающий на диэлектрик свет не является монохроматическим, то вблизи резонанса, на частотах w®w 0 , он поглощается, электроны вещества рассеивают эту энергию в объеме. Так возникают в спектрах полосы поглощения. Ширина линий спектра поглощения определяется формулой