При решении практических задач могут встретиться случайные величины, имеющие разные распределения, но одинаковые математические ожидания. При этом у одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, у других, наоборот, могут быть значительными. Иначе говоря, у величин может быть разный разброс значений вокруг математического ожидания.
Например, для двух дискретных случайных величин, заданных следующими законами:
| Х | -1 | и | Y | -100 | ||||
| Р | 0,3 | 0,4 | 0,3 | Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
математические ожидания равны, т.е. М (Х )=М (Y )=0. Однако, понятно, что это разные случайные величины и, прежде всего, они отличаются разбросом значений по оси абсцисс слева и справа от точки 0 – своего математического ожидания.
Приведенные рассуждения говорят о том, что было бы целесообразно ввести в рассмотрение некоторую числовую характеристику, связанную с разбросом. На первый взгляд может показаться, что такой характеристикой может быть среднее значение всех отклонений возможных значений случайной величины от математического ожидания.
Отклонением случайной величины Х от своего математического ожидания М (Х ) называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
Очевидно, что отклонение также является случайной величиной. Найдем среднее значение отклонения, т.е. математическое ожидание отклонения, получим M (X – M (X )) = M (X ) – M (M (X )) = M (X ) – M (X ) = 0.
Итак, математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю. Этот факт можно объяснить также тем, что возможные значения отклонения имеют как положительные, так и отрицательные знаки, поэтому при нахождении среднего значения (математического ожидания) слагаемые взаимно уничтожаются. Избежать этого можно, убрав отрицательные знаки значений отклонения. Для этого эти значения либо берут по абсолютной величине, либо возводят в квадрат. Первый путь используется крайне редко, так как работа с абсолютными величинами вызывает, как правило, серьезные трудности, например, при дифференцировании. Поэтому в качестве характеристики разброса используют математическое ожидание квадрата отклонения.
Дисперсией D (X ) случайной величиныХ называется математическое ожидание квадрата отклонения данной случайной величины от своего математического ожидания, т.е.
D (X ) = M [(X – M (X )) 2 ] (6.4)
Само слово "дисперсия" означает "рассеивание".
Нетрудно понять, что вероятности значений случайных величин Х и (X – M (X )) 2 одинаковы. Для того, чтобы величина (X – M (X )) 2 приняла значение, например, (х 1 – M (X )) 2 , достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение х 1 . Вероятность этого события равна р 1 , следовательно, и вероятность того, что величина (X – M (X )) 2 примет значение (х 1 – M (X )) 2 также равна р 1 . Аналогично обстоит дело и с остальными возможными значениями. Поэтому формула (6.4) с учетом определения математического ожидания случайной величины примет вид:
для дискретной случайной величины с конечным множеством значений
для непрерывной случайной величины
(6.6)
Несобственный интеграл в формуле (6.6) превращается в определенный интеграл по конечному промежутку , если значения непрерывной случайной величины имеются только в этом промежутке.
Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, в отличие от дисперсии, которая имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Таким образом, дисперсия характеризует не сам разброс, а квадрат разброса значений случайной величины. Для того чтобы определить сам средний разброс находят квадратный корень из дисперсии и получают новую числовую характеристику, называемую среднеквадратическим отклонением.
Среднеквадратическим отклонением σ (Х ) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии, т.е.
.
Пример 6.6 . Найти дисперсию дискретной случайной величины, заданной следующим рядом распределения
После вычислений, получим
| (Х - М (Х )) 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Найдем математическое ожидание полученной случайной величины: D (X ) = M [(X – M (X )) 2 ]=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. ■
Пример 6.7 . Найти дисперсию непрерывной случайной величины, заданной своей функцией плотности: f (x )=0,5x при х Î(0,2); для остальных х функция плотности равна нулю.
Решение . По формуле (6.2) найдем математическое ожидание, получим
По формуле (6.6) найдем дисперсию, при этом несобственный интеграл превратится в определенный по заданному промежутку (0,2):
. ■
Для вычисления дисперсии часто применяется другая формула, которая легко получается из формулы (6.4).
Теорема 6.1. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания:
D (X ) = M (X 2) – M 2 (X ) (6.7)
Доказательство. Преобразуем формулу (6.4), используя свойства математического ожидания, получим
Теорема доказана.
Пример 6.8 . Решим пример 6.6, используя формулу (6.7). Математическое ожидание было найдено, оно равно М (Х )=2,3. Теперь найдем закон распределения величины Х 2 , получим
| Х 2 | |||
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Найдем М (Х 2) = 1·0,3 + 4·0,5 + 25·0,2 = 7,3. Тогда дисперсия равна
D (Х ) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■
Очевидно, что применение формулы (6.7) значительно упрощает процесс нахождения дисперсии. Понятно, что эту же формулу можно применять и для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.
Свойства дисперсии
Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D (C ) = 0, где С – постоянная величина.
Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойства математического ожидания, получим
D (С ) = M [(С – M (С )) 2 ]= M [(С – С ) 2 ] =М (0)= 0.
Этот результат достаточно очевиден, так как постоянная величина принимает всего одно значение, поэтому разброс значений отсутствует.
Свойство доказано.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D (СX ) = С 2 D (X ).
Доказательство . По определению дисперсии с использованием свойств математического ожидания, получим
D (СХ ) = M [(СХ – M (СХ )) 2 ]= M [(СХ – СM (Х )) 2 ]= M [С 2 (Х – M (Х )) 2 ]=
= С 2 M [(Х – M (Х )) 2 ]= С 2 D (X ).
Свойство доказано.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е., если величины Х и Y независимы, то
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ).
Доказательство . Для доказательства применим формулу (6.7) и свойства математического ожидания, получим
D (X+Y ) = M ((X+Y ) 2) – M 2 (X+Y )= M (X 2 +2XY+Y 2) – (M (X+Y )) 2 =
= M (X 2) + M (2XY ) + M (Y 2) – (M (X )+M (Y )) 2 = M (X 2) + 2M (X )M (Y ) + M (Y 2) – – M 2 (X ) –2M (X )M (Y ) - M 2 (Y ) = M (X 2) – M 2 (X ) + M (Y 2) – M 2 (Y ) = D (X ) + D (Y ).
Свойство доказано.
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых величин равна сумме дисперсий этих величин.
Доказательство можно провести методом математической индукции.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D (X – Y ) = D (X ) + D (Y ).
Доказательство . Применяя второе и третье свойства дисперсии, получим D (X – Y ) = D (X ) + D (– Y ) = D (X ) + (–1) 2 D (Y ) = D (X ) + D (Y ).
Свойство доказано.
Доказанное свойство также легко распространить на любое конечное число независимых случайных величин.
Пример 6.9 . Найти дисперсию дискретной случайной величины Х , равной числу появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р .
Решение. Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях.
Введем в рассмотрение еще n случайных величин:
Х 1 – число появлений события А в первом испытании;
Х 2 – число появлений события А во втором испытании;
…………………………………………………………….
Х n – число появлений события А в n – ом испытании.
Очевидно, что Х =Х 1 +Х 2 +…+Х n . Величины Х 1 , Х 2 , …, Х n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. Воспользуемся следствием четвертого свойства дисперсии, получим
D (X ) = D (X 1) + D (X 2) + …+ D (X n).
Найдем дисперсию величины Х 1 . Ряд распределения этой величины имеет вид:
| Х 1 | ||
| Р | 1−р | р |
Тогда М (Х 1) = р ; М (Х 1 2) = р ; D (X 1) = р – р 2 = р (1 – p )=pq .
Очевидно, что дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq . Поэтому
D (X ) = D (X 1)+D (X 2)+…+D (X n) = npq . ■
Если исследуется некоторая случайная величина, у которой значения являются достаточно большими числами, то существует возможность перейти от этой величины к более простым величинам, называемым центрированной и стандартной.
variance ) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение σ X 2 {\displaystyle \sigma _{X}^{2}} или σ 2 {\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}} .Квадратный корень из дисперсии, равный σ {\displaystyle \displaystyle \sigma } , называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием , станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах , что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Замечания
где - i {\displaystyle i} -ое значение случайной величины, p i {\displaystyle p_{i}} - вероятность того, что случайная величина принимает значение x i {\displaystyle x_{i}} , n {\displaystyle n} - количество значений случайной величины.
где f (x) {\displaystyle f(x)} - плотность вероятности случайной величины.
- В силу линейности математического ожидания, справедлива формула: D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 {\displaystyle D[X]=M-\left(M[X]\right)^{2}}
- Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
- Дисперсия может быть бесконечной.
- Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U (t) {\displaystyle U(t)} : D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = U ″ (0) − (U ′ (0)) 2 {\displaystyle D[X]=M-\left(M[X]\right)^{2}=U""(0)-\left(U"(0)\right)^{2}}
- Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности .
- Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance ) случайной величины X {\displaystyle X} по последовательности X 1 . . . X n {\displaystyle X_{1}...X_{n}} - реализаций этой случайной величины: S ¯ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ¯ 2) n {\displaystyle {\bar {S}}^{2}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)}{n}}^{2}}{n}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}}{n}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-{\bar {X}}^{2}\right)}{n}}} где X ¯ = ∑ i = 1 n X i n {\displaystyle {\bar {X}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}} - несмещённая оценка M [ X ] {\displaystyle M[X]} . Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance ) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на n n − 1 {\displaystyle {\frac {n}{n-1}}} . Несмещённая оценка обозначается S ~ 2 {\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}} : S ~ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n − 1 = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n − 1 = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ¯ 2) n − 1 {\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)}{n}}^{2}}{n-1}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}}{n-1}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-{\bar {X}}^{2}\right)}{n-1}}}
Свойства
- Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D [ X ] ⩾ 0 ; {\displaystyle D[X]\geqslant 0;}
- Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
- Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D [ a ] = 0. {\displaystyle D[a]=0.} Верно и обратное: если D [ X ] = 0 , {\displaystyle D[X]=0,} то X = M [ X ] {\displaystyle X=M[X]} почти всюду ;
- Дисперсия суммы двух случайных величин равна: D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov (X , Y) {\displaystyle D=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)} , где cov (X , Y) {\displaystyle {\text{cov}}(X,Y)} - их ковариация ;
- Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
D
[
∑
i
=
1
n
c
i
X
i
]
=
∑
i
=
1
n
c
i
2
D
[
X
i
]
+
2
∑
1
⩽
i
<
j
⩽
n
c
i
c
j
cov
(X
i
,
X
j)
{\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D+2\sum _{1\leqslant i
- В частности,
D
[
X
1
+
.
.
.
+
X
n
]
=
D
[
X
1
]
+
.
.
.
+
D
[
X
n
]
{\displaystyle D=D+...+D}
для любых задана равенством
f
X
(x)
=
{
1
,
x
∈
[
0
,
1
]
0
,
x
∉
[
0
,
1
]
.
{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in \\0,&x\not \in .\end{matrix}}\right.}
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины
M [ X 2 ] = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 , {\displaystyle M\left=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},}и математическое ожидание случайной величины
M [ X ] = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 | 0 1 = 1 2 . {\displaystyle M\left=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}Тогда дисперсия случайной величины
D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = 1 3 − (1 2) 2 = 1 12 . {\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу
так как М(Х)
, 2 и
–
постоянные величины. Таким образом,
4.2.2. Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.
Доказательство
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:
Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то
Доказательство
. Обозначим
.
Тогдаи.
Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин
Пример 4.5.
Еслиa
иb
– постоянные,
тоD(a
Х+
b
)=
D
(a
Х)+
D
(b
)=
.
4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия, как
характеристика разброса случайной
величины, имеет один недостаток. Если,
например, Х
– ошибка измерения имеет размерность
ММ
,
то дисперсия имеет размерность
.
Поэтому часто предпочитают пользоваться
другой характеристикой разброса –средним
квадратическим отклонением
,
которое равно корню квадратному из
дисперсии
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний
Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:
Так как опыты независимы, то и связанные
с опытами случайные величины
независимы. А в силу независимости
имеем
Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)
|
| ||
и
(пример 4.4). Поэтому, по определению
дисперсии:
где q =1- p .
В итоге имеем
,
Среднее квадратическое отклонение
числа появлений события в n
независимых опытах равно
.
4.3. Моменты случайных величин
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным
моментом
k
Х
(
)
называется математическое ожиданиеk
-й
степени этой случайной величины.
Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
4.4. Примеры нахождения законов распределения
Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
Пример 4.7.
Составить закон распределения числа
попаданий в цель при трех выстрелах по
мишени, если вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную
функцию F
(х)
для
полученного распределения дискретной
случайной величиныХ
и начертить
ее график. Найти математическое ожиданиеM
(X
)
,
дисперсиюD
(X
)
и среднее квадратическое отклонение
(Х
)
случайной величиныX
.
Решение
1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:
Получим вероятности возможных значений Х :;
Составим искомый закон распределения случайной величины Х :
Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).
2) Если х
0,
то F
(х)
=0.
Действительно, значений, меньших нуля,
величина Х
не принимает. Следовательно, при всех
х
0
, пользуясь определениемF
(х)
,
получим F
(х)
=P
(X
<
x
)
=0
(как вероятность невозможного события).
Если 0
,
тоF
(X
)
=0,216.
Действительно, в этом случаеF
(х)
=P
(X
<
x
)
=
=P
(-
<
X
0)+
P
(0<
X
<
x
)
=0,216+0=0,216.
Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X <0,2) . Но вероятность событияХ <0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХ лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.
Если 1
,
то
Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.
Если 2
,
то рассуждая аналогично, получимF
(х)
=0,216+0,432 +
+ 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х
=3. ТогдаF
(3)=P
(X
<3)
выражает вероятность событияX
<3 –
стрелок сделает меньше трех попаданий,
т.е. ноль, один или два. Применяя теорему
сложения вероятностей, получим указанное
значение функцииF
(х)
.
Если x
>3, тоF
(х)
=0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Действительно, событиеX
является
достоверным и вероятность его равна
единице, аX
>3 –
невозможным. Учитывая, что
F
(х)
=P
(X
<
x
)
=P
(X
3)
+
P
(3<
X
<
x
)
,
получим указанный результат.
Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:
F
(x
)
=
график которой изображен на рис. 4.2.
3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:
М(Х) =0=1,2.
То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.
Дисперсию можно вычислить, исходя из
определения дисперсии D
(X
)=
M
(X
-
M
(X
))
или воспользоваться формулойD
(X
)=
M
(X
,
которая ведет к цели быстрее.
Напишем закон распределения случайной
величины Х
:
Найдем математическое ожидание для Х
:
М(Х
)
= 04
= 2,16.
Вычислим искомую дисперсию:
D
(X
)
=
M
(X
)
– (M
(X
))
= 2,16 – (1,2)
= 0,72.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
(X
)
=
= 0,848.
Интервал (M
-
;
M
+
)
= (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал
наиболее вероятных значений случайной
величиныХ
, в него попадают значения
1 и 2.
Пример 4.8.
Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :
f
(x
)
=
1) Определить постоянный параметр a .
2) Найти интегральную функцию F (x ) .
3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .
4) Найти двумя способами вероятности
Р(0,5<
X
1,5)
иP
(1,5<
X
<3,5)
.
5). Найти математическое ожидание М(Х)
,
дисперсиюD
(Х)
и
среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ
.
Решение
1) Дифференциальная функция по свойству
f
(x
)
должна удовлетворять условию
.
Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :
Подставляя этот результат в левую часть
равенства, получим, что а
=1. В условии
дляf
(x
)
заменим параметра
на 1:
2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой
.
Если х
,
то
,
следовательно,
Если 1
то
Если x>2, то
Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:
3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).
4) Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал (а,
b
)
вычисляется по формуле
,
если известнафункция
f
(x
),
и по формуле P
(a
<
X
<
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
),
если известна
функция
F
(x
).
Найдем
по двум формулам и сравним результаты.
По условиюа=0,5;
b
=1,5;
функцияf
(X
)
задана в пункте 1). Следовательно,
искомая вероятность по формуле равна:
Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:
Так какF (0,5)=0.
Аналогично находим
так как F (3,5)=1.
5) Для нахождения математического
ожидания М(Х)
воспользуемся формулой
Функцияf
(x
)
задана в решении пункта 1), она равна
нулю вне интервала (1,2]:
Дисперсия
непрерывной случайной величиныD
(Х)
определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Для
нахожденияD
(X
)
воспользуемся последней формулой и
учтем, что все возможные значенияf
(x
)
принадлежат интервалу (1,2]:
Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.
Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен
(М-
,М+
)
= (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x , то дисперсией случайной величины x называется величина D x =M (x - M x ) 2 .
Легко показать, что D x = M (x - M x ) 2 = M x 2 - M (x) 2 .
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
, 
.
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением .
Основные свойства дисперсии:
- дисперсия константы равна нулю, D c =0;
- для произвольной константы D (cx ) = c 2 D (x);
- дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D (x ± h ) = D (x) + D (h).
51) Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.
Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0 F(x) 1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2) F(x 1), если x 2 >x 1
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a X Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при x a; 2) F(x)=1 при x b. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При x a ординаты графика равны нулю; при x b ординаты графика равны единице: Функцией распределения
случайной величины Х
называется функция F(x)
, выражающая для каждого х
вероятность того, что случайная величина Х
примет значение, меньшее х
: Функцию F(x)
называют интегральной функцией распределения
или интегральным законом распределения. Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p i
для дискретной случайной величины в непрерывном случае. Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности
(плотностью распределения, дифференциальной функцией
) случайной величины Х
называется функция f(x),
являющаяся первой производной интегральной функции распределения.
Справедливы следующие предельные соотношения: 
.