F ib

F in

ствием сил

F 2 … F n (рис. 21) со скоростью υ

Модуль которой равен

υ = dS , где S - дуговая координата.

Проекция ускорения на касательную равна a τ =

Учитывая, что скорость υ

Сложная функция времени, т.е. υ = f (S (t )) ,

a τ = d υ

D υ

= υ d υ .

Основное уравнение динамики в проекции на касательную имеет вид

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ .

точки M 1

и M 2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , откуда

mυ 2

= ∑ A i .

mυ 2

Половина произведения массы материальной точки на квадрат скорости

называется кинетической энергией точки.

mυ 2 2

− кинетическая энергия точки после перемещения,

− кинетическая энергия точки до перемещения,

mυ 2

Найти: V A , a A , T .

1. Изобразим на схеме механической системы (рис. 26) все внешние силы:

P A , N A , F тр. , P B , N B , P C , N C .

2. Выразим все необходимые линейные и угловые скорости через искомую скорость V A .(рис.26)

ω B = r A = R B ; B B

V B = R B V A ; r B

ω С = V B = R B V A ; 2 R C r B 2 R C

T 1 положениях.

T 0 = 0 - система находилась в покое;

T 1 = T A + T B + T C ;

Тело А движется поступательно;

TA = 0,5 mA VA 2 = mV 2 A

Тело В совершает вращательное движение вокруг оси OZ, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через точку О.

Тело С совершает плоско-параллельное движение:

T 1 = mV A 2 + 1,125mV A 2 + 0,75mV A 2 = 2,875mV A 2 .

4.Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении s.

Так как перемещения точек изменяются пропорционально их скоростям,

SC = R B S

2r B

∑ A i E = 1,72mqS − 0,1mqS − 0,5mqS = 1,12mqS .

Поскольку значение суммы работ всех внешних сил положительно, фактическое направление скорости V A совпадает с указанным на рис.26.

5. Найдем значение скорости V A из формулы T 1 − T 0 = ∑ A i E

2,875mV A 2 = 1,12mqS

f (x , y , z , t ) = 0 .

6. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

6.1. Связи и их уравнения

Изучение элементов аналитической механики мы начнем с более подробного рассмотрения связей.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена. Тела, ограничивающие движение точки, называются связями. Пусть связь представляет собой поверхность некоторого тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, называемому уравнением связи :

f (x i , y i , z i ) = 0 .

Системы различают свободные и несвободные .

Система материальных точек называется свободной, если все входящие в нее точки могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости. В противном случае система называется несвободной.

6.2. Классификация связей

Связи классифицируются по следующим признакам:

1) стационарные и нестационарные;

2) голономные и неголономные;

3) удерживающие и неудерживающие.

Стационарными называются такие связи, уравнения которых не со-

держат время t в явном виде. Уравнение стационарной связи имеет вид: f (x i , y i , z i ) = 0 .

Связи, которые описываются уравнениями, содержащими время t явно, называются нестационарными. Аналитически они выражаются уравнением

Голономными связями называются связи, не накладывающие ограничения на скорости точек системы. Выше указанные связи являются также и голономными.

Связи, накладывающие ограничения не только на координаты, но и на скорости точек системы, называются неголономными . Их аналитическое выражение в общем случае имеет следующий вид

f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) = 0

Механические системы, подчиненные голономным связям, называются голономными системами. Если же в числе связей имеются неголономные, то системы называются неголономными.

Классическим примером движения неголономной системы может служить качение твердого шара по шероховатой поверхности (например, бильярдного шара).

Удерживающими связями называются связи, которые не допускают перемещений, в результате которых точки системы могли бы освободиться от связи.

Примером удерживающей связи является первый пример. Другим примером могут служить две параллельные плоскости, между которыми происходит движение шарика.

Для удерживающей связи уравнение дается равенством вида f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) = 0 .

Удерживающие связи иногда называются двухсторонними связями. Связи, допускающие перемещения, в результате которых точки системы

могут освободиться от связи без ее разрушения, называются неудерживающими . Иногда такие связи называют односторонними. Уравнение неудерживающей связи имеет вид неравенства

f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) ≤ 0.

Примерами неудерживающих связей являются второй и третий примеры. Другим примером такой связи может служить одна плоскость, по которой движется шар.

6.3. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи

Представим себе какое-либо несвободное тело, например, куб, лежащий на плоскости. Дадим мысленно этому кубу какое-либо бесконечно малое перемещение. Вообразим, например, что мы немного приподняли его над плоскостью; при таком перемещении связь куба с плоскостью будет нарушена. Но мы можем дать кубу и такое воображаемое бесконечно малое перемещение, которое не нарушит связи; таким перемещением является любое перемещение по плоскости.

Итак, возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

В нашем примере для куба возможным перемещением является всякое воображаемое бесконечно малое перемещение его вдоль плоскости.

Возможные перемещения точек механической системы рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Поэтому криволинейные перемещения точек за-

меняют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек и обозначают δ r .

Так, например, возможным перемещением рычага АВ является его поворот на бесконечно малый угол δϕ вокруг оси О (рис. 27).

При этом повороте точки А и В должны переместиться по дугам окружностей АА1 и ВВ1 . Но с точностью до величин первого порядка малости эти

перемещения можно заменить возможными перемещениями δ r A = AA ′ и δ r B = BB ′ в виде прямолинейных отрезков, отложенных по касательным к

траекториям точек, а по величине соответственно равных:

δ rA = ОА δϕ и δ rВ = ОВ δϕ .

Действительные перемещения несвободной механической системы dr , которая движется под действием приложенных к ней сил, входят в число ее возможных перемещений и являются их частным случаем. Однако это справедливо лишь для стационарных связей. В случае нестационарных связей действительные перемещения системы не относятся к числу ее возможных перемещений.

В общем случае для точек системы может существовать множество различных возможных перемещений. Однако для каждой системы, в зависимости от характера наложенных на нее связей, можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть представлено как их геометрическая сумма. Например, шарик, лежащий на какой-нибудь плоскости, можно переместить вдоль этой плоскости по множеству направлений. Однако любое его возможное перемещение δ r можно получить как сумму двух перемещений

δ х и δ r 2 вдоль лежащих в этой плоскости взаимно перпендикулярных осей:

δ r = δ r1 + δ r2 .

Число независимых возможных перемещений механической системы определяет число степеней свободы этой системы.

Так, рассматриваемый выше шарик на плоскости, если его считать материальной точкой, имеет две степени свободы. У рассмотренного выше куба на плоскости 3 степени свободы – два поступательных перемещения вдоль осей координат и одно вращательное вокруг вертикальной оси. Рычаг, закрепленный на оси, имеет одну степень свободы. Свободное твердое тело име-

ет шесть степеней свободы – независимыми перемещениями являются три поступательных перемещения вдоль осей координат и три вращательных вокруг этих осей.

В заключение введем понятие возможной работы сил, приложенных к системе.

δ r i

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Учебные вопросы:

1. Работа силы.

2. Кинетическая энергия точки и механической системы.

3.Теорема об изменении кинетической энергии точки.

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

5. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия.

1. Работа силы.

Элементарная работа силы - это бесконечно малая ска­лярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы :

.

-приращение ра­диуса-вектора точки приложе­ния силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение
точ­ки по траектории совпадает с
в силу их малости. Поэтому

Так как
- проекция силы на направление пе­ремещения точки (при криволинейной траектории - на каса­тельную оськ траектории, то

,

т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нор­мальной силы равна нулю.

Если
то

если
то

если
то
.

Представим векторы и
через их проекции на оси де­картовых координат:

,

Работа силы на конечном перемещении равна инте­гральной сумме элементарных работ на этом перемещении

.

.

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещает­ся прямолинейно, то

.

Работа силы тяжести

где h - перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх
(точка
- внизу,
- вверху). Итак ,

.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (
совпадает с
) работа равна нулю.

Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х

,

где - величина деформации пружины. При перемещении точки приложения силы
из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда
.

Поэтому работа силы упругости

.

Работа сил, приложенных к твердому телу.

а) Работа внутренних сил

Для двух k - х точек: , т. к.
и(доказывается в кинематике) (рис. 80).

Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:

.

Следовательно, на любом конечном перемещении тела

.

б) Работа внешних сил.

Поступательное движение тела.

Элементарная работа k –й силы

Для всех сил

.

Так как при поступательном движении , то

,

где
- проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения.

Работа сил на конечном перемещении

.

Вращение тела вокруг неподвижной оси .

Элемен­тарная работа k - й силы

где
,
и
- составляю­щие силыпо естественным осям

Так как
,
, то работа этих сил на перемещение
точки приложения силы равна нулю. Тогда

.

Элементарная работа k - й внешней силы равна произве­дению момента этой силы относительно оси вращения
на элементарный угол поворота
тела вокруг оси.

Элементарная работа всех внешних сил

,

где
- главный момент внешних сил относительно оси.

Работа сил на конечном перемещении

.

Если
, то

где
- конечный угол поворота;
, гдеп - число оборотов тела вокруг оси.

Мощность - это работа, выполненная силой в единицу времени . Если работа совершается равномерно, то мощность

,

где А – работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время t .

В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы dA к элементарному про­межутку времени dt , за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому

При вращении тела вокруг неподвижной оси

,

где
- угловая скорость вращения тела.

Единицы измерения работы и мощности . В системе СИ единица измерения работы силы - джоуль (1 Дж = 1 Нм ),

Единица измерения мощности соответственно - ватт (1 Вт = 1 Дж/с )

75 кГм/с = 1 л. с . (лошадиная сила).

1 кВт = 1000 Вт = 1,36 л. с .

Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении»

Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи.

Ход работы:

Изучить материал по теме.

Записать краткую теорию.

Решить задачи.

Оформить работу.

Ответить на контрольные вопросы.

Написать вывод.

Краткая теория:

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .

Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:

P = W/t = Tφ/t или P = Tω .

Вариант №1

На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего мо­мента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.

Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2.

Вариант №2

Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 .

Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2.

Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.

Просмотр: эта статья прочитана 49920 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек:

1. механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения;
2. механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоту, электричество и т.д.).

Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки или механической системы. Мерой действия силы в этом случае является вектор импульса силы.

Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы. Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия это способность тела преодолевать препятствование во время движения.

Кинетическая энергия материальной точки

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, которая равняется половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия:

• характеризует и поступательное, и вращательное движения;
• не зависит от направления движения точек системы и не характеризует изменение этих направлений;
• характеризует действие и внутренних, и внешних сил.

Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия системы равняется сумме кинетических энергий тел системы. Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.

Определение кинетической энергии твердого тела при разных видах движения движениях.

Кинетическая энергия поступательного движения
При поступательном движении кинетическая энергия тела равна Т =m V 2 /2.

Мерой инертности тела при поступательном движении является масса.

Кинетическая энергия вращательного движения тела

При вращательном движении тела кинетическая энергия равняется половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения и квадрата его угловой скорости.

Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции.

Кинетическая энергия тела не зависит от направления вращения тела.

Кинетическая энергия плоскопаралельного движения тела

При плоскопаралельном движении тела кинетическая энергия равна

Работа силы

Работа силы характеризует действие силы на тело при некотором перемещении и определяет изменение модуля скорости подвижной точки.

Элементарная работа силы

Элементарная работа силы определяется как скалярная величина, равная произведению проекции силы на касательную к траектории, направленную в направлении движения точки, и бесконечно малого перемещения точки, направленного вдоль этой касательной.

Работа силы на конечном перемещении

Работа силы на конечном перемещении равна сумме ее работ на элементарных участках.

Работа силы на конечном перемещении М 1 М 0 равняется интегралу вдоль этого перемещения от элементарной работы.

Работа силы на перемещении М 1 М 2 изображается площадью фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой и ординатами, соответствующими точкам М 1 и М 0 .

Единица измерения работы силы и кинетической энергии в системе СИ 1 (Дж).

Теоремы о работе силы

Теорема 1 . Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

Теорема 2. Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Мощность

Мощность - это величина, которая определяет работу силы за единицу времени.

Единицей измерения мощности есть 1Вт = 1 Дж/с.

Случаи определения работы сил

Работа внутренних сил

Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Работа силы тяжести

Работа силы упругости

Работа силы трения

Работа сил, приложенных к вращающемуся телу

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Сопротивление качению

В зоне контакта неподвижого цилиндра и плоскости возникает местная деформация контактного сжатия, напряжение распределяются по эллиптическому закону и линия действия равнодействующей N этих напряжений совпадает с линией действия силы нагрузки на цилиндр Q. При перекатывании цилиндра распределение нагрузки становится несимметричным с максимумом, смещенным в сторону движения. Равнодействующая N смещается на величину k - плечо силы трения качения, которая еще назвается коэффициентом трения качения и имеет размерность длины (см)

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равняется алгебраической сумме робот всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равняется алгебраической сумме робот внутренних и внешних сил, действующих на материальные точки системы на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела

Изменение кинетической энергии твердого тела (неизменной системы) на некотором перемещении равняется сумме робот внешних сил, действующих на точки системы на том же перемещении.

КПД

Силы, действующие в механизмах

Силы и пары сил (моменты), которые приложены к механизму или машине, можно разделить на группы:

1.Движущие силы и моменты, совершающие положительную работу (приложенные к ведущим звеньям, например, давление газа на поршень в ДВС).

2. Силы и моменты сопротивления, совершающие отрицательную работу:

• полезного сопротивления (совершают требуемую от машины работу и приложены к ведомым звеньям, например сопротивление поднимаемого машиной груза),
• силы сопротивления (например, силы трения, сопротивление воздуха и т.п.).

3. Силы тяжести и силы упругости пружин (как положительная, так и отрицательная работа, при этом работа за полный цикл равна нулю).

4. Силы и моменты, приложенные к корпусу или стойке извне (реакция фундамента и т.п.), которые не совершают работу.

5. Силы взаимодействия между звеньями, действующие в кинематических парах.

6. Силы инерции звеньев, обусловленные массой и движением звеньев с ускорением, могут осуществлять положительную, отрицательную работу и не совершать работы.

Работа сил в механизмах

При установившемся режиме работы машины ее кинетическая энергия не изменяется и сумма работ приложенных к ней движущих сил и сил сопротивления равна нулю.

Работа, затрачиваемая на приведение машины в движение, расходуется на преодоление полезных и вредных сопротивлений.

КПД механизмов

Механический коэффициент полезного действия при установившемся движении равен отношению полезной работы машины к работе, затраченной на приведение машины в движение:

Элементы машины могут соединяться последовательно, параллельно и смешанно.

КПД при последовательном соединении

При последовательном соединении механизмов общий КПД меньше с наименьшего КПД отдельного механизма.

КПД при параллельном соединении

При параллельном соединении механизмов общий КПД больше наименьшего и меньше наибольшего КПД отдельного механизма.

Формат: pdf

Язык: русский, украинский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы